数组双指针知识

1. 双指针简介

双指针（Two Pointers）：指的是在遍历元素的过程中，不是使用单个指针进行访问，而是使用两个指针进行访问，从而达到相应的目的。如果两个指针方向相反，则称为「对撞指针」。如果两个指针方向相同，则称为「快慢指针」。如果两个指针分别属于不同的数组 / 链表，则称为「分离双指针」。

在数组的区间问题上，暴力算法的时间复杂度往往是 $O(n^2)$。而双指针利用了区间「单调性」的性质，可以将时间复杂度降到 $O(n)$。

2. 对撞指针

对撞指针：指的是两个指针 $left$、$right$ 分别指向序列第一个元素和最后一个元素，然后 $left$ 指针不断递增，$right$ 不断递减，直到两个指针的值相撞（即 $left == right$），或者满足其他要求的特殊条件为止。

对撞指针

2.1 对撞指针求解步骤

1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向序列第一个元素，即：$left = 0$，$right$ 指向序列最后一个元素，即：$right = len(nums) - 1$。
2. 在循环体中将左右指针相向移动，当满足一定条件时，将左指针右移，$left += 1$。当满足另外一定条件时，将右指针左移，$right -= 1$。
3. 直到两指针相撞（即 $left == right$），或者满足其他要求的特殊条件时，跳出循环体。

2.2 对撞指针伪代码模板

left, right = 0, len(nums) - 1

while left < right:
    if 满足要求的特殊条件:
        return 符合条件的值 
    elif 一定条件 1:
        left += 1
    elif 一定条件 2:
        right -= 1

return 没找到 或 找到对应值

2.3 对撞指针适用范围

对撞指针一般用来解决有序数组或者字符串问题：

• 查找有序数组中满足某些约束条件的一组元素问题：比如二分查找、数字之和等问题。
• 字符串反转问题：反转字符串、回文数、颠倒二进制等问题。

下面我们根据具体例子来讲解如何使用对撞指针来解决问题。

2.4 两数之和 II - 输入有序数组

2.4.1 题目链接

• 167. 两数之和 II - 输入有序数组 - 力扣（LeetCode）

2.4.2 题目大意

描述：给定一个下标从 $1$ 开始计数、升序排列的整数数组：$numbers$ 和一个目标值 $target$。

要求：从数组中找出满足相加之和等于 $target$ 的两个数，并返回两个数在数组中下的标值。

说明：

• $2 \le numbers.length \le 3 * 10^4$。
• $-1000 \le numbers[i] \le 1000$。
• $numbers$ 按非递减顺序排列。
• $-1000 \le target \le 1000$。
• 仅存在一个有效答案。

示例：

• 示例 1：

输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
输出：[1,2]
解释：2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

• 示例 2：

输入：numbers = [2,3,4], target = 6
输出：[1,3]
解释：2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。

2.4.3 解题思路

这道题如果暴力遍历数组，从中找到相加之和等于 $target$ 的两个数，时间复杂度为 $O(n^2)$，可以尝试一下。

class Solution:
    def twoSum(self, numbers: List[int], target: int) -> List[int]:
        size = len(numbers)
        for i in range(size):
            for j in range(i + 1, size):
                if numbers[i] + numbers[j] == target:
                    return [i + 1, j + 1]
        return [-1, -1]

结果不出意外的超时了。所以我们要想办法减少时间复杂度。

思路 1：对撞指针

可以考虑使用对撞指针来减少时间复杂度。具体做法如下：

1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向数组第一个值最小的元素位置，$right$ 指向数组值最大元素位置。
2. 判断两个位置上的元素的和与目标值的关系。
   1. 如果元素和等于目标值，则返回两个元素位置。
   2. 如果元素和大于目标值，则让 $right$ 左移，继续检测。
   3. 如果元素和小于目标值，则让 $left$ 右移，继续检测。
3. 直到 $left$ 和 $right$ 移动到相同位置停止检测。
4. 如果最终仍没找到，则返回 $[-1, -1]$。

思路 1：代码

class Solution:
    def twoSum(self, numbers: List[int], target: int) -> List[int]:
        left = 0
        right = len(numbers) - 1
        while left < right:
            total = numbers[left] + numbers[right]
            if total == target:
                return [left + 1, right + 1]
            elif total < target:
                left += 1
            else:
                right -= 1
        return [-1, -1]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。只用到了常数空间存放若干变量。

2.5 验证回文串

2.5.1 题目链接

• 125. 验证回文串 - 力扣（LeetCode）

2.5.2 题目大意

描述：给定一个字符串 $s$。

要求：判断是否为回文串（只考虑字符串中的字母和数字字符，并且忽略字母的大小写）。

说明：

• 回文串：正着读和反着读都一样的字符串。
• $1 \le s.length \le 2 * 10^5$。
• $s$ 仅由可打印的 ASCII 字符组成。

示例：

输入: "A man, a plan, a canal: Panama"
输出：true
解释："amanaplanacanalpanama" 是回文串。


输入："race a car"
输出：false
解释："raceacar" 不是回文串。

2.5.3 解题思路

思路 1：对撞指针

1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向字符串开始位置，$right$ 指向字符串结束位置。
2. 判断两个指针对应字符是否是字母或数字。 通过 $left$ 右移、$right$ 左移的方式过滤掉字母和数字以外的字符。
3. 然后判断 $s[start]$ 是否和 $s[end]$ 相等（注意大小写）。
   1. 如果相等，则将 $left$ 右移、$right$ 左移，继续进行下一次过滤和判断。
   2. 如果不相等，则说明不是回文串，直接返回 $False$。
4. 如果遇到 $left == right$，跳出循环，则说明该字符串是回文串，返回 $True$。

思路 1：代码

class Solution:
    def isPalindrome(self, s: str) -> bool:
        left = 0
        right = len(s) - 1
        
        while left < right:
            if not s[left].isalnum():
                left += 1
                continue
            if not s[right].isalnum():
                right -= 1
                continue
            
            if s[left].lower() == s[right].lower():
                left += 1
                right -= 1
            else:
                return False
        return True

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(len(s))$。
• 空间复杂度：$O(len(s))$。

2.6 盛最多水的容器

2.6.1 题目链接

• 11. 盛最多水的容器 - 力扣（LeetCode）

2.6.2 题目大意

描述：给定 $n$ 个非负整数 $a_1,a_2, ...,a_n$，每个数代表坐标中的一个点 $(i, a_i)$。在坐标内画 $n$ 条垂直线，垂直线 $i$ 的两个端点分别为 $(i, a_i)$ 和 $(i, 0)$。

要求：找出其中的两条线，使得它们与 $x$ 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

说明：

• $n == height.length$。
• $2 \le n \le 10^5$。
• $0 \le height[i] \le 10^4$。

示例：

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49 
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

2.6.3 解题思路

思路 1：对撞指针

从示例中可以看出，如果确定好左右两端的直线，容纳的水量是由「左右两端直线中较低直线的高度 * 两端直线之间的距离」所决定的。所以我们应该使得「」，这样才能使盛水面积尽可能的大。

可以使用对撞指针求解。移动较低直线所在的指针位置，从而得到不同的高度和面积，最终获取其中最大的面积。具体做法如下：

1. 使用两个指针 $left$，$right$。$left$ 指向数组开始位置，$right$ 指向数组结束位置。
2. 计算 $left$ 和 $right$ 所构成的面积值，同时维护更新最大面积值。
3. 判断 $left$ 和 $right$ 的高度值大小。
   1. 如果 $left$ 指向的直线高度比较低，则将 $left$ 指针右移。
   2. 如果 $right$ 指向的直线高度比较低，则将 $right$ 指针左移。
4. 如果遇到 $left == right$，跳出循环，最后返回最大的面积。

思路 1：代码

class Solution:
    def maxArea(self, height: List[int]) -> int:
        left = 0
        right = len(height) - 1
        ans = 0
        while left < right:
            area = min(height[left], height[right]) * (right-left)
            ans = max(ans, area)
            if height[left] < height[right]:
                left += 1
            else:
                right -= 1
        return ans

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

3. 快慢指针

快慢指针：指的是两个指针从同一侧开始遍历序列，且移动的步长一个快一个慢。移动快的指针被称为 「快指针（fast）」，移动慢的指针被称为「慢指针（slow）」。两个指针以不同速度、不同策略移动，直到快指针移动到数组尾端，或者两指针相交，或者满足其他特殊条件时为止。

快慢指针

3.1 快慢指针求解步骤

1. 使用两个指针 $slow$、$fast$。$slow$ 一般指向序列第一个元素，即：$slow = 0$，$fast$ 一般指向序列第二个元素，即：$fast = 1$。
2. 在循环体中将左右指针向右移动。当满足一定条件时，将慢指针右移，即 $slow += 1$。当满足另外一定条件时（也可能不需要满足条件），将快指针右移，即 $fast += 1$。
3. 到快指针移动到数组尾端（即 $fast == len(nums) - 1$），或者两指针相交，或者满足其他特殊条件时跳出循环体。

3.2 快慢指针伪代码模板

slow = 0
fast = 1
while 没有遍历完：
    if 满足要求的特殊条件:
        slow += 1
    fast += 1
return 合适的值

3.3 快慢指针适用范围

快慢指针一般用于处理数组中的移动、删除元素问题，或者链表中的判断是否有环、长度问题。关于链表相关的双指针做法我们到链表章节再详细讲解。

下面我们根据具体例子来讲解如何使用快慢指针来解决问题。

3.4 删除有序数组中的重复项

3.4.1 题目链接

• 26. 删除有序数组中的重复项 - 力扣（LeetCode）

3.4.2 题目大意

描述：给定一个有序数组 $nums$。

要求：删除数组 $nums$ 中的重复元素，使每个元素只出现一次。并输出去除重复元素之后数组的长度。

说明：

• 不能使用额外的数组空间，在原地修改数组，并在使用 $O(1)$ 额外空间的条件下完成。

示例：

• 示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出：2, nums = [1,2,_]
解释：函数应该返回新的长度 2 ，并且原数组 nums 的前两个元素被修改为 1, 2 。不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

• 示例 2：

输入：nums = [0,0,1,1,1,2,2,3,3,4]
输出：5, nums = [0,1,2,3,4]
解释：函数应该返回新的长度 5 ， 并且原数组 nums 的前五个元素被修改为 0, 1, 2, 3, 4 。不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

3.4.3 解题思路

思路 1：快慢指针

因为数组是有序的，那么重复的元素一定会相邻。

删除重复元素，实际上就是将不重复的元素移到数组左侧。考虑使用双指针。具体算法如下：

1. 定义两个快慢指针 $slow$，$fast$。其中 $slow$ 指向去除重复元素后的数组的末尾位置。$fast$ 指向当前元素。
2. 令 $slow$ 在后， $fast$ 在前。令 $slow = 0$，$fast = 1$。
3. 比较 $slow$ 位置上元素值和 $fast$ 位置上元素值是否相等。
   • 如果不相等，则将 $slow$ 右移一位，将 $fast$ 指向位置的元素复制到 $slow$ 位置上。
4. 将 $fast$ 右移 $1$ 位。
5. 重复上述 $3 \sim 4$ 步，直到 $fast$ 等于数组长度。
6. 返回 $slow + 1$ 即为新数组长度。

思路 1：代码

class Solution:
    def removeDuplicates(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) <= 1:
            return len(nums)
        
        slow, fast = 0, 1

        while (fast < len(nums)):
            if nums[slow] != nums[fast]:
                slow += 1
                nums[slow] = nums[fast]
            fast += 1
            
        return slow + 1

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

4. 分离双指针

分离双指针：两个指针分别属于不同的数组，两个指针分别在两个数组中移动。

分离双指针

4.1 分离双指针求解步骤

1. 使用两个指针 $left\underline{\hspace{0.5em}}1$、$left\underline{\hspace{0.5em}}2$。$left\underline{\hspace{0.5em}}1$ 指向第一个数组的第一个元素，即：$left\underline{\hspace{0.5em}}1 = 0$，$left\underline{\hspace{0.5em}}2$ 指向第二个数组的第一个元素，即：$left\underline{\hspace{0.5em}}2 = 0$。
2. 当满足一定条件时，两个指针同时右移，即 $left\underline{\hspace{0.5em}}1 += 1$、$left\underline{\hspace{0.5em}}2 += 1$。
3. 当满足另外一定条件时，将 $left\underline{\hspace{0.5em}}1$ 指针右移，即 $left\underline{\hspace{0.5em}}1 += 1$。
4. 当满足其他一定条件时，将 $left\underline{\hspace{0.5em}}2$ 指针右移，即 $left\underline{\hspace{0.5em}}2 += 1$。
5. 当其中一个数组遍历完时或者满足其他特殊条件时跳出循环体。

4.2 分离双指针伪代码模板

left_1 = 0
left_2 = 0

while left_1 < len(nums1) and left_2 < len(nums2):
    if 一定条件 1:
        left_1 += 1
        left_2 += 1
    elif 一定条件 2:
        left_1 += 1
    elif 一定条件 3:
        left_2 += 1

4.3 分离双指针使用范围

分离双指针一般用于处理有序数组合并，求交集、并集问题。

下面我们根据具体例子来讲解如何使用分离双指针来解决问题。

4.4 两个数组的交集

4.4.1 题目链接

• 349. 两个数组的交集 - 力扣（LeetCode）

4.4.2 题目大意

描述：给定两个数组 $nums1$ 和 $nums2$。

要求：返回两个数组的交集。重复元素只计算一次。

说明：

• $1 \le nums1.length, nums2.length \le 1000$。
• $0 \le nums1[i], nums2[i] \le 1000$。

示例：

• 示例 1：

输入：nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2]
输出：[2]
示例 2：

• 示例 2：

输入：nums1 = [4,9,5], nums2 = [9,4,9,8,4]
输出：[9,4]
解释：[4,9] 也是可通过的

4.4.3 解题思路

思路 1：分离双指针

1. 对数组 $nums1$、$nums2$ 先排序。
2. 使用两个指针 $left\underline{\hspace{0.5em}}1$、$left\underline{\hspace{0.5em}}2$。$left\underline{\hspace{0.5em}}1$ 指向第一个数组的第一个元素，即：$left\underline{\hspace{0.5em}}1 = 0$，$left\underline{\hspace{0.5em}}2$ 指向第二个数组的第一个元素，即：$left\underline{\hspace{0.5em}}2 = 0$。
3. 如果 $nums1[left\underline{\hspace{0.5em}}1] == nums2[left\underline{\hspace{0.5em}}2]$，则将其加入答案数组（注意去重），并将 $left\underline{\hspace{0.5em}}1$ 和 $left\underline{\hspace{0.5em}}2$ 右移。
4. 如果 $nums1[left\underline{\hspace{0.5em}}1] < nums2[left\underline{\hspace{0.5em}}2]$，则将 $left\underline{\hspace{0.5em}}1$ 右移。
5. 如果 $nums1[left\underline{\hspace{0.5em}}1] > nums2[left\underline{\hspace{0.5em}}2]$，则将 $left\underline{\hspace{0.5em}}2$ 右移。
6. 最后返回答案数组。

思路 1：代码

class Solution:
    def intersection(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> List[int]:
        nums1.sort()
        nums2.sort()

        left_1 = 0
        left_2 = 0
        res = []
        while left_1 < len(nums1) and left_2 < len(nums2):
            if nums1[left_1] == nums2[left_2]:
                if nums1[left_1] not in res:
                    res.append(nums1[left_1])
                left_1 += 1
                left_2 += 1
            elif nums1[left_1] < nums2[left_2]:
                left_1 += 1
            elif nums1[left_1] > nums2[left_2]:
                left_2 += 1
        return res

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

5. 双指针总结

双指针分为「对撞指针」、「快慢指针」、「分离双指针」。

• 对撞指针：两个指针方向相反。适合解决查找有序数组中满足某些约束条件的一组元素问题、字符串反转问题。
• 快慢指针：两个指针方向相同。适合解决数组中的移动、删除元素问题，或者链表中的判断是否有环、长度问题。
• 分离双指针：两个指针分别属于不同的数组 / 链表。适合解决有序数组合并，求交集、并集问题。

参考资料

• 【博文】双指针算法之快慢指针 (yanyusoul.com)
• 【博文】双指针算法各类基础题型总结 - 掘金
• 【博文】双指针 - 力扣加加 - 努力做西湖区最好的算法题解
• 【博文】LeetCode分类专题（四）——双指针和滑动窗口1 - iwehdio - 博客园
• 【博文】双指针算法各类基础题型总结 - 掘金