0051. N 皇后 #

标签：数组、回溯
难度：困难

题目大意 #

描述：给定一个整数 n。

要求：返回所有不同的「n 皇后问题」的解决方案。每一种解法包含一个不同的「n 皇后问题」的棋子放置方案，该方案中的 Q 和 . 分别代表了皇后和空位。

说明：

n 皇后问题：将 n 个皇后放置在 n * n 的棋盘上，并且使得皇后彼此之间不能攻击。
皇后彼此不能相互攻击：指的是任何两个皇后都不能处于同一条横线、纵线或者斜线上。
$1 \le n \le 9$。

示例：

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输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如下图所示，4 皇后问题存在 2 个不同的解法。

解题思路 #

思路 1：回溯算法 #

这道题是经典的回溯问题。我们可以按照行序来放置皇后，也就是先放第一行，再放第二行 …… 一直放到最后一行。

对于 n * n 的棋盘来说，每一行有 n 列，也就有 n 种放法可供选择。我们可以尝试选择其中一列，查看是否与之前放置的皇后有冲突，如果没有冲突，则继续在下一行放置皇后。依次类推，直到放置完所有皇后，并且都不发生冲突时，就得到了一个合理的解。

并且在放置完之后，通过回溯的方式尝试其他可能的分支。

下面我们根据回溯算法三步走，写出对应的回溯算法。

明确所有选择：根据棋盘中当前行的所有列位置上是否选择放置皇后，画出决策树，如下图所示。
明确终止条件：
- 当遍历到决策树的叶子节点时，就终止了。也就是在最后一行放置完皇后时，递归终止。

将决策树和终止条件翻译成代码：

定义回溯函数：
- 首先我们先使用一个 n * n 大小的二维矩阵 chessboard 来表示当前棋盘，chessboard 中的字符 Q 代表皇后，. 代表空位，初始都为 .。
- 然后定义回溯函数 backtrack(chessboard, row): 函数的传入参数是 chessboard（棋盘数组）和 row（代表当前正在考虑放置第 row 行皇后），全局变量是 res（存放所有符合条件结果的集合数组）。
- backtrack(chessboard, row): 函数代表的含义是：在放置好第 row 行皇后的情况下，递归放置剩下行的皇后。
书写回溯函数主体（给出选择元素、递归搜索、撤销选择部分）。
- 枚举出当前行所有的列。对于每一列位置：
  - 约束条件：定义一个判断方法，先判断一下当前位置是否与之前棋盘上放置的皇后发生冲突，如果不发生冲突则继续放置，否则则继续向后遍历判断。
  - 选择元素：选择 row, col 位置放置皇后，将其棋盘对应位置设置为 Q。
  - 递归搜索：在该位置放置皇后的情况下，继续递归考虑下一行。
  - 撤销选择：将棋盘上 row, col 位置设置为 .。

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# 判断当前位置 row, col 是否与之前放置的皇后发生冲突
def isValid(self, n: int, row: int, col: int, chessboard: List[List[str]]):
    for i in range(row):
        if chessboard[i][col] == 'Q':
            return False

    i, j = row - 1, col - 1
    while i >= 0 and j >= 0:
        if chessboard[i][j] == 'Q':
            return False
        i -= 1
        j -= 1
    i, j = row - 1, col + 1
    while i >= 0 and j < n:
        if chessboard[i][j] == 'Q':
            return False
        i -= 1
        j += 1

    return True

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for col in range(n):                            # 枚举可放置皇后的列
   if self.isValid(n, row, col, chessboard):   # 如果该位置与之前放置的皇后不发生冲突
       chessboard[row][col] = 'Q'              # 选择 row, col 位置放置皇后
       backtrack(row + 1, chessboard)          # 递归放置 row + 1 行之后的皇后
       chessboard[row][col] = '.'              # 撤销选择 row, col 位置

明确递归终止条件（给出递归终止条件，以及递归终止时的处理方法）。
- 当遍历到决策树的叶子节点时，就终止了。也就是在最后一行放置完皇后（即 row == n）时，递归停止。
- 递归停止时，将当前符合条件的棋盘转换为答案需要的形式，然后将其存入答案数组 res 中即可。

思路 1：代码 #

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class Solution:
    res = []
    def backtrack(self, n: int, row: int, chessboard: List[List[str]]):
        if row == n:
            temp_res = []
            for temp in chessboard:
                temp_str = ''.join(temp)
                temp_res.append(temp_str)
            self.res.append(temp_res)
            return
        for col in range(n):
            if self.isValid(n, row, col, chessboard):
                chessboard[row][col] = 'Q'
                self.backtrack(n, row + 1, chessboard)
                chessboard[row][col] = '.'

    def isValid(self, n: int, row: int, col: int, chessboard: List[List[str]]):
        for i in range(row):
            if chessboard[i][col] == 'Q':
                return False

        i, j = row - 1, col - 1
        while i >= 0 and j >= 0:
            if chessboard[i][j] == 'Q':
                return False
            i -= 1
            j -= 1
        i, j = row - 1, col + 1
        while i >= 0 and j < n:
            if chessboard[i][j] == 'Q':
                return False
            i -= 1
            j += 1

        return True

    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        self.res.clear()
        chessboard = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        self.backtrack(n, 0, chessboard)
        return self.res

思路 1：复杂度分析 #

时间复杂度：$O(n!)$，其中 $n$ 是皇后数量。
空间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 是皇后数量。递归调用层数不会超过 $n$，每个棋盘的空间复杂度为 $O(n^2)$，所以空间复杂度为 $O(n^2)$。