0048. 旋转图像

• 标签：数组、数学、矩阵
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定一个 $n \times n$ 大小的二维矩阵（代表图像）$matrix$。

要求：将二维矩阵 $matrix$ 顺时针旋转 90°。

说明：

• 不能使用额外的数组空间。
• $n == matrix.length == matrix[i].length$。
• $1 \le n \le 20$。
• $-1000 \le matrix[i][j] \le 1000$。

示例：

• 示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

• 示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

解题思路

思路 1：原地旋转

如果使用额外数组空间的话，将对应元素存放到对应位置即可。如果不使用额外的数组空间，则需要观察每一个位置上的点最初位置和最终位置有什么规律。

对于矩阵中第 $i$ 行的第 $j$ 个元素，在旋转后，它出现在倒数第 $i$ 列的第 $j$ 个位置。即 $matrixnew[j][n − i − 1] = matrix[i][j]$。

而 $matrixnew[j][n - i - 1]$ 的点经过旋转移动到了 $matrix[n − i − 1][n − j − 1]$ 的位置。

$matrix[n − i − 1][n − j − 1]$ 位置上的点经过旋转移动到了 $matrix[n − j − 1][i]$ 的位置。

$matrix[n− j − 1][i]$ 位置上的点经过旋转移动到了最初的 $matrix[i][j]$ 的位置。

这样就形成了一个循环，我们只需要通过一个临时变量 $temp$ 就可以将循环中的元素逐一进行交换。Python 中则可以直接使用语法直接交换。

思路 1：代码

class Solution:
    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        n = len(matrix)

        for i in range(n // 2):
            for j in range((n + 1) // 2):
                matrix[i][j], matrix[n - j - 1][i], matrix[n - i - 1][n - j - 1], matrix[j][n - i - 1] = matrix[n - j - 1][i], matrix[n - i - 1][n - j - 1], matrix[j][n - i - 1], matrix[i][j]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。

思路 2：原地翻转

通过观察可以得出：原矩阵可以通过一次「水平翻转」+「主对角线翻转」得到旋转后的二维矩阵。

思路 2：代码

def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
    n = len(matrix)
    
    for i in range(n // 2):
        for j in range(n):
            matrix[i][j], matrix[n - i - 1][j] = matrix[n - i - 1][j], matrix[i][j]
    
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

思路 2：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。