0074. 搜索二维矩阵

• 标签：数组、二分查找、矩阵
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定一个 $m \times n$ 大小的有序二维矩阵 $matrix$。矩阵中每行元素从左到右升序排列，每列元素从上到下升序排列。再给定一个目标值 $target$。

要求：判断矩阵中是否存在目标值 $target$。

说明：

• $m == matrix.length$。
• $n == matrix[i].length$。
• $1 \le m, n \le 100$。
• $-10^4 \le matrix[i][j], target \le 10^4$。

示例：

• 示例 1：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3
输出：True

• 示例 2：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13
输出：False

解题思路

思路 1：二分查找

二维矩阵是有序的，可以考虑使用二分搜索来进行查找。

1. 首先二分查找遍历对角线元素，假设对角线元素的坐标为 $(row, col)$。把数组元素按对角线分为右上角部分和左下角部分。
2. 然后对于当前对角线元素右侧第 $row$ 行、对角线元素下侧第 $col$ 列进行二分查找。
   1. 如果找到目标，直接返回 True。
   2. 如果找不到目标，则缩小范围，继续查找。
   3. 直到所有对角线元素都遍历完，依旧没找到，则返回 False。

思路 1：代码

class Solution:
    # 二分查找对角线元素
    def diagonalBinarySearch(self, matrix, diagonal, target):
        left = 0
        right = diagonal
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if matrix[mid][mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        return left
    
    def rowBinarySearch(self, matrix, begin, cols, target):
        left = begin
        right = cols
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if matrix[begin][mid] < target:
                left = mid + 1
            elif matrix[begin][mid] > target:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid
                break
        return begin <= left <= cols and matrix[begin][left] == target

    def colBinarySearch(self, matrix, begin, rows, target):
        left = begin + 1
        right = rows
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if matrix[mid][begin] < target:
                left = mid + 1
            elif matrix[mid][begin] > target:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid
                break
        return begin <= left <= rows and matrix[left][begin] == target

    def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        rows = len(matrix)
        if rows == 0:
            return False
        cols = len(matrix[0])
        if cols == 0:
            return False

        min_val = min(rows, cols)
        index = self.diagonalBinarySearch(matrix, min_val - 1, target)
        if matrix[index][index] == target:
            return True
        for i in range(index + 1):
            row_search = self.rowBinarySearch(matrix, i, cols - 1, target)
            col_search = self.colBinarySearch(matrix, i, rows - 1, target)
            if row_search or col_search:
                return True
        return False

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log m + \log n)$，其中 $m$、$n$ 分别是矩阵的行数和列数。
• 空间复杂度：$O(1)$。