0078. 子集

0078. 子集 #

  • 标签:位运算、数组、回溯算法
  • 难度:中等

题目大意 #

描述:给定一个整数数组 nums,数组中的元素互不相同。

要求:返回该数组所有可能的不重复子集。

示例

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输入 nums = [1,2,3]
输出 [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

解题思路 #

思路 1:回溯算法 #

数组的每个元素都有两个选择:选与不选。

我们可以通过向当前子集数组中添加可选元素来表示选择该元素。也可以在当前递归结束之后,将之前添加的元素从当前子集数组中移除(也就是回溯)来表示不选择该元素。

下面我们根据回溯算法三步走,写出对应的回溯算法。

  1. 明确所有选择:根据数组中每个位置上的元素选与不选两种选择,画出决策树,如下图所示。
  1. 明确终止条件

    • 当遍历到决策树的叶子节点时,就终止了。即当前路径搜索到末尾时,递归终止。
  2. 将决策树和终止条件翻译成代码:

    1. 定义回溯函数:

      • backtracking(nums, index): 函数的传入参数是 nums(可选数组列表)和 index(代表当前正在考虑元素是 nums[i] ),全局变量是 res(存放所有符合条件结果的集合数组)和 path(存放当前符合条件的结果)。
      • backtracking(nums, index): 函数代表的含义是:在选择 nums[index] 的情况下,递归选择剩下的元素。
    2. 书写回溯函数主体(给出选择元素、递归搜索、撤销选择部分)。

      • 从当前正在考虑元素,到数组结束为止,枚举出所有可选的元素。对于每一个可选元素:
        • 约束条件:之前选过的元素不再重复选用。每次从 index 位置开始遍历而不是从 0 位置开始遍历就是为了避免重复。集合跟全排列不一样,子集中 {1, 2}{2, 1} 是等价的。为了避免重复,我们之前考虑过的元素,就不再重复考虑了。
        • 选择元素:将其添加到当前子集数组 path 中。
        • 递归搜索:在选择该元素的情况下,继续递归考虑下一个位置上的元素。
        • 撤销选择:将该元素从当前子集数组 path 中移除。
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    for i in range(index, len(nums)):   # 枚举可选元素列表
        path.append(nums[i])            # 选择元素
        backtracking(nums, i + 1)       # 递归搜索
        path.pop()                      # 撤销选择
    
    1. 明确递归终止条件(给出递归终止条件,以及递归终止时的处理方法)。
      • 当遍历到决策树的叶子节点时,就终止了。也就是当正在考虑的元素位置到达数组末尾(即 start >= len(nums))时,递归停止。
      • 从决策树中也可以看出,子集需要存储的答案集合应该包含决策树上所有的节点,应该需要保存递归搜索的所有状态。所以无论是否达到终止条件,我们都应该将当前符合条件的结果放入到集合中。

思路 1:回溯算法代码 #

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class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        res = []  # 存放所有符合条件结果的集合
        path = []  # 存放当前符合条件的结果
        def backtracking(nums, index):          # 正在考虑可选元素列表中第 index 个元素
            res.append(path[:])                 # 将当前符合条件的结果放入集合中
            if index >= len(nums):              # 遇到终止条件(本题)
                return

            for i in range(index, len(nums)):   # 枚举可选元素列表
                path.append(nums[i])            # 选择元素
                backtracking(nums, i + 1)       # 递归搜索
                path.pop()                      # 撤销选择

        backtracking(nums, 0)
        return res

思路 2:二进制枚举 #

对于一个元素个数为 n 的集合 nums 来说,每一个位置上的元素都有选取和未选取两种状态。我们可以用数字 1 来表示选取该元素,用数字 0 来表示不选取该元素。

那么我们就可以用一个长度为 n 的二进制数来表示集合 nums 或者表示 nums 的子集。其中二进制的每一位数都对应了集合中某一个元素的选取状态。对于集合中第 i 个元素(i0 开始编号)来说,二进制对应位置上的 1 代表该元素被选取,0 代表该元素未被选取。

举个例子来说明一下,比如长度为 5 的集合 nums = {5, 4, 3, 2, 1},我们可以用一个长度为 5 的二进制数来表示该集合。

比如二进制数 11111 就表示选取集合的第 0 位、第 1 位、第 2 位、第 3 位、第 4 位元素,也就是集合 {5, 4, 3, 2, 1} ,即集合 nums 本身。如下表所示:

集合 nums 对应位置(下标) 4 3 2 1 0
二进制数对应位数 1 1 1 1 1
对应选取状态 选取 选取 选取 选取 选取

再比如二进制数 10101 就表示选取集合的第 0 位、第 2 位、第 5 位元素,也就是集合 {5, 3, 1}。如下表所示:

集合 nums 对应位置(下标) 4 3 2 1 0
二进制数对应位数 1 0 1 0 1
对应选取状态 选取 未选取 选取 未选取 选取

再比如二进制数 01001 就表示选取集合的第 0 位、第 3 位元素,也就是集合 {5, 2}。如下标所示:

集合 nums 对应位置(下标) 4 3 2 1 0
二进制数对应位数 0 1 0 0 1
对应选取状态 未选取 选取 未选取 未选取 选取

通过上面的例子我们可以得到启发:对于长度为 5 的集合 nums 来说,我们只需要从 00000 ~ 11111 枚举一次(对应十进制为 $0 \sim 2^4 - 1$)即可得到长度为 5 的集合 S 的所有子集。

我们将上面的例子拓展到长度为 n 的集合 nums。可以总结为:

  • 对于长度为 5 的集合 nums 来说,只需要枚举 $0 \sim 2^n - 1$(共 $2^n$ 种情况),即可得到所有的子集。

思路 2:二进制枚举代码 #

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class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        n = len(nums)                       # n 为集合 nums 的元素个数
        sub_sets = []                       # sub_sets 用于保存所有子集
        for i in range(1 << n):             # 枚举 0 ~ 2^n - 1
            sub_set = []                    # sub_set 用于保存当前子集
            for j in range(n):              # 枚举第 i 位元素
                if i >> j & 1:              # 如果第 i 为元素对应二进制位为 1,则表示选取该元素
                    sub_set.append(nums[j]) # 将选取的元素加入到子集 sub_set 中
            sub_sets.append(sub_set)        # 将子集 sub_set 加入到所有子集数组 sub_sets 中
        return sub_sets                     # 返回所有子集
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