0152. 乘积最大子数组

• 标签：数组、动态规划
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定一个整数数组 nums。

要求：找出数组中乘积最大的连续子数组（最少包含一个数字），并返回该子数组对应的乘积。

说明：

• 测试用例的答案是一个 32-位整数。
• 子数组：数组的连续子序列。
• $1 \le nums.length \le 2 * 10^4$。
• $-10 \le nums[i] \le 10$。
• nums 的任何前缀或后缀的乘积都保证是一个 32-位整数。

示例：

• 示例 1：

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

• 示例 2：

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

解题思路

思路 1：动态规划

这道题跟「0053. 最大子序和」有点相似，不过一个求的是和的最大值，这道题求解的是乘积的最大值。

乘积有个特殊情况，两个正数、两个负数相乘都会得到正数。所以求解的时候需要考虑负数的情况。

若想要最终的乘积最大，则应该使子数组中的正数元素尽可能的大，负数元素尽可能的小。所以我们可以维护一个最大值变量和最小值变量。

1. 划分阶段

按照子数组的结尾位置进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 dp_max[i] 为：以第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积。

定义状态 dp_min[i] 为：以第 $i$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积。

3. 状态转移方程

• dp_max[i] = max(dp_max[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i])
• dp_min[i] = min(dp_min[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i])

4. 初始条件

• 以第 $0$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积为 nums[0]，即 dp_max[0] = nums[0]。
• 以第 $0$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积为 nums[0]，即 dp_min[0] = nums[0]。

5. 最终结果

根据状态定义，最终结果为 $dp_{max}$ 中最大值，即乘积最大子数组的乘积。

思路 1：代码

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        dp_max = [0 for _ in range(size)]
        dp_min = [0 for _ in range(size)]
        dp_max[0] = nums[0]
        dp_min[0] = nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            dp_max[i] = max(dp_max[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i])
            dp_min[i] = min(dp_min[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i])
        return max(dp_max)

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为整数数组 nums 的元素个数。
• 空间复杂度：$O(n)$。

思路 2：动态规划 + 滚动优化

因为状态转移方程中只涉及到当前元素和前一个元素，所以我们也可以不使用数组，只使用两个变量来维护 $dp_{max}[i]$ 和 $dp_{min}[i]$。

思路 2：代码

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        max_num, min_num = nums[0], nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            temp_max = max_num
            temp_min = min_num
            max_num = max(temp_max * nums[i], nums[i], temp_min * nums[i])
            min_num = min(temp_min * nums[i], nums[i], temp_max * nums[i])
            ans = max(max_num, ans)
        return ans

思路 2：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为整数数组 nums 的元素个数。
• 空间复杂度：$O(1)$。