0152. 乘积最大子数组

0152. 乘积最大子数组 #

  • 标签:数组、动态规划
  • 难度:中等

题目大意 #

描述:给定一个整数数组 nums

要求:找出数组中乘积最大的连续子数组(最少包含一个数字),并返回该子数组对应的乘积。

说明

  • 测试用例的答案是一个 32-位整数。
  • 子数组:数组的连续子序列。
  • $1 \le nums.length \le 2 * 10^4$。
  • $-10 \le nums[i] \le 10$。
  • nums 的任何前缀或后缀的乘积都保证是一个 32-位整数。

示例

  • 示例 1:
1
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3
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6
  • 示例 2:
1
2
3
输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组

解题思路 #

思路 1:动态规划 #

这道题跟「 0053. 最大子序和」有点相似,不过一个求的是和的最大值,这道题求解的是乘积的最大值。

乘积有个特殊情况,两个正数、两个负数相乘都会得到正数。所以求解的时候需要考虑负数的情况。

若想要最终的乘积最大,则应该使子数组中的正数元素尽可能的大,负数元素尽可能的小。所以我们可以维护一个最大值变量和最小值变量。

1. 划分阶段 #

按照子数组的结尾位置进行阶段划分。

2. 定义状态 #

定义状态 dp_max[i] 为:以第 $i$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积。

定义状态 dp_min[i] 为:以第 $i$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积。

3. 状态转移方程 #
  • dp_max[i] = max(dp_max[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i])
  • dp_min[i] = min(dp_min[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i])
4. 初始条件 #
  • 以第 $0$ 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积为 nums[0],即 dp_max[0] = nums[0]
  • 以第 $0$ 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积为 nums[0],即 dp_min[0] = nums[0]
5. 最终结果 #

根据状态定义,最终结果为 $dp_{max}$ 中最大值,即乘积最大子数组的乘积。

思路 1:代码 #

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class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        dp_max = [0 for _ in range(size)]
        dp_min = [0 for _ in range(size)]
        dp_max[0] = nums[0]
        dp_min[0] = nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            dp_max[i] = max(dp_max[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i])
            dp_min[i] = min(dp_min[i - 1] * nums[i], nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i])
        return max(dp_max)

思路 1:复杂度分析 #

  • 时间复杂度:$O(n)$,其中 $n$ 为整数数组 nums 的元素个数。
  • 空间复杂度:$O(n)$。

思路 2:动态规划 + 滚动优化 #

因为状态转移方程中只涉及到当前元素和前一个元素,所以我们也可以不使用数组,只使用两个变量来维护 $dp_{max}[i]$ 和 $dp_{min}[i]$。

思路 2:代码 #

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class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        max_num, min_num = nums[0], nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            temp_max = max_num
            temp_min = min_num
            max_num = max(temp_max * nums[i], nums[i], temp_min * nums[i])
            min_num = min(temp_min * nums[i], nums[i], temp_max * nums[i])
            ans = max(max_num, ans)
        return ans

思路 2:复杂度分析 #

  • 时间复杂度:$O(n)$,其中 $n$ 为整数数组 nums 的元素个数。
  • 空间复杂度:$O(1)$。
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