0152. 乘积最大子数组 #

标签：数组、动态规划
难度：中等

题目大意 #

给定一个整数数组 nums，要求找出数组中乘积最大的连续子数组（最少包含一个数字），并返回该子数组对应的乘积。

解题思路 #

这道题跟「 0053. 最大子序和」有点相似，不过一个求的是和的最大值，这道题求解的是乘积的最大值。

乘积有个特殊情况，两个正数、两个负数相乘都会得到正数。所以求解的时候需要考虑负数的情况。

若想要最终的乘积最大，则应该使子数组中的正数元素尽可能的大，负数元素尽可能的小。所以可以维护一个最大值变量和最小值变量。

动态规划的状态可写为： $dp_{max}[i]$ 表示为以第 i 个元素结尾的乘积最大子数组的乘积，$dp_{min}[i]$ 表示为以第 i 个元素结尾的乘积最小子数组的乘积。

动态规划的状态转移方程可以写成：

$dp_{max}[i] = max(dp_{max}[i-1] * nums[i], nums[i], dp_{min}[i-1] * nums[i])$
$dp_{min}[i] = min(dp_{min}[i-1] * nums[i], nums[i], dp_{max}[i-1] * nums[i])$

最后找出 $dp_{max}$ 中最大值即为乘积最大子数组的乘积。

当然，因为状态转移方程中只涉及到当前元素和前一个元素，所以我们也可以不使用数组，只使用两个变量来维护 $dp_{max}[i]$ 和 $dp_{min}[i]$。可参考「2. 解法二」的代码。

代码 #

解法一

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class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        dp_max = [0 for _ in range(size)]
        dp_min = [0 for _ in range(size)]
        dp_max[0] = nums[0]
        dp_min[0] = nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            dp_max[i] = max(dp_max[i-1] * nums[i], nums[i], dp_min[i-1] * nums[i])
            dp_min[i] = min(dp_min[i-1] * nums[i], nums[i], dp_max[i-1] * nums[i])
        return max(dp_max)

解法二

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class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        max_num, min_num = nums[0], nums[0]
        ans = nums[0]
        for i in range(1, size):
            temp_max = max_num
            temp_min = min_num
            max_num = max(temp_max * nums[i], nums[i], temp_min * nums[i])
            min_num = min(temp_min * nums[i], nums[i], temp_max * nums[i])
            ans = max(max_num, ans)
        return ans