0207. 课程表

• 标签：深度优先搜索、广度优先搜索、图、拓扑排序
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定一个整数 $numCourses$，代表这学期必须选修的课程数量，课程编号为 $0 \sim numCourses - 1$。再给定一个数组 $prerequisites$ 表示先修课程关系，其中 $prerequisites[i] = [ai, bi]$ 表示如果要学习课程 $ai$ 则必须要先完成课程 $bi$。

要求：判断是否可能完成所有课程的学习。如果可以，返回 True，否则，返回 False。

说明：

• $1 \le numCourses \le 10^5$。
• $0 \le prerequisites.length \le 5000$。
• $prerequisites[i].length == 2$。
• $0 \le ai, bi < numCourses$。
• $prerequisites[i]$ 中所有课程对互不相同。

示例：

• 示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。这是可能的。

• 示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

解题思路

思路 1：拓扑排序

1. 使用哈希表 $graph$ 存放课程关系图，并统计每门课程节点的入度，存入入度列表 $indegrees$。
2. 借助队列 $S$，将所有入度为 $0$ 的节点入队。
3. 从队列中选择一个节点 $u$，并令课程数减 $1$。
4. 从图中删除该顶点 $u$，并且删除从该顶点出发的有向边 $<u, v>$（也就是把该顶点可达的顶点入度都减 $1$）。如果删除该边后顶点 $v$ 的入度变为 $0$，则将其加入队列 $S$ 中。
5. 重复上述步骤 $3 \sim 4$，直到队列中没有节点。
6. 最后判断剩余课程数是否为 $0$，如果为 $0$，则返回 True，否则，返回 False。

思路 1：代码

import collections

class Solution:
    def topologicalSorting(self, numCourses, graph):
        indegrees = {u: 0 for u in graph}
        for u in graph:
            for v in graph[u]:
                indegrees[v] += 1
        
        S = collections.deque([u for u in indegrees if indegrees[u] == 0])
        
        while S:
            u = S.pop()
            numCourses -= 1
            for v in graph[u]:
                indegrees[v] -= 1
                if indegrees[v] == 0:
                    S.append(v)
        
        if numCourses == 0:
            return True
        return False

    def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
        graph = dict()
        for i in range(numCourses):
            graph[i] = []
            
        for v, u in prerequisites:
            graph[u].append(v)
            
        return self.topologicalSorting(numCourses, graph)

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n + m)$，其中 $n$ 为课程数，$m$ 为先修课程的要求数。
• 空间复杂度：$O(n + m)$。