0338. 比特位计数 #

标签：位运算、动态规划
难度：简单

题目大意 #

描述：给定一个整数 n。

要求：对于 0 ≤ i ≤ n 的每一个 i，计算其二进制表示中 1 的个数，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

说明：

$0 \le n \le 10^5$。
使用线性时间复杂度 $O(n)$ 解决此问题。
不使用任何内置函数解决此问题。

示例：

示例 1：

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输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

解题思路 #

思路 1：动态规划 #

根据整数的二进制特点可以将整数分为两类：

奇数：其二进制表示中 1 的个数一定比前面相邻的偶数多一个 1。
偶数：其二进制表示中 1 的个数一定与该数除以 2 之后的数一样多。

另外，边界 0 的二进制表示中 1 的个数为 0。

于是可以根据规律，从 0 开始到 n 进行递推求解。

1. 划分阶段 #

按照整数 n 进行阶段划分。

2. 定义状态 #

定义状态 dp[i] 表示为：整数 i 对应二进制表示中 1 的个数。

3. 状态转移方程 #

如果 i 为奇数，则整数 i 对应二进制表示中 1 的个数等于整数 i - 1 对应二进制表示中 1 的个数加 1，即 dp[i] = dp[i - 1] + 1。
如果 i 为偶数，则整数 i 对应二进制表示中 1 的个数等于整数 i // 2 对应二进制表示中 1 的个数，即 dp[i] = dp[i // 2]。

4. 初始条件 #

整数 0 对应二进制表示中 1 的个数为 0。

5. 最终结果 #

整个 dp 数组即为最终结果，将其返回即可。

思路 1：动态规划代码 #

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            if i % 2 == 1:
                dp[i] = dp[i - 1] + 1
            else:
                dp[i] = dp[i // 2]
        return dp

思路 1：复杂度分析 #

时间复杂度：$O(n)$。一重循环的时间复杂度为 $O(n)$。
空间复杂度：$O(n)$。用到了一位数组保存状态，所以总的时间复杂度为 $O(n)$。