0509. 斐波那契数

0509. 斐波那契数 #

  • 标签:数组
  • 难度:简单

题目大意 #

描述:给定一个整数 n

要求:计算第 n 个斐波那契数。

说明

  • 斐波那契数列的定义如下:
    • f(0) = 0, f(1) = 1
    • f(n) = f(n - 1) + f(n - 2),其中 n > 1

示例

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输入n = 2
输出1
解释F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

解题思路 #

思路 1:递归算法 #

根据我们的递推三步走策略,写出对应的递归代码。

  1. 写出递推公式:f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
  2. 明确终止条件:f(0) = 0, f(1) = 1
  3. 翻译为递归代码:
    1. 定义递归函数:fib(self, n) 表示输入参数为问题的规模 n,返回结果为第 n 个斐波那契数。
    2. 书写递归主体:return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
    3. 明确递归终止条件:
      1. if n == 0: return 0
      2. if n == 1: return 1

思路 1:递归算法代码 #

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class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

思路 2:复杂度分析 #

思路 2:动态规划算法 #

1. 划分阶段 #

我们可以按照整数顺序进行阶段划分,将其划分为整数 0 ~ n

2. 定义状态 #

定义状态 dp[i] 为:第 i 个斐波那契数。

3. 状态转移方程 #

根据题目中所给的斐波那契数列的定义 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2),则直接得出状态转移方程为 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

4. 初始条件 #

根据题目中所给的初始条件 f(0) = 0, f(1) = 1 确定动态规划的初始条件,即 dp[0] = 0, dp[1] = 1

5. 最终结果 #

根据状态定义,最终结果为 dp[n],即第 n 个斐波那契数为 dp[n]

思路 2:动态规划代码 #

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class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return n

        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 2] + dp[i - 1]

        return dp[n]

思路 2:复杂度分析 #

  • 时间复杂度:$O(n)$。一重循环遍历的时间复杂度为 $O(n)$。
  • 空间复杂度:$O(n)$。用到了一维数组保存状态,所以总体空间复杂度为 $O(n)$。因为 dp[i] 的状态只依赖于 dp[i - 1]dp[i - 2],所以可以使用 3 个变量来分别表示 dp[i]dp[i - 1]dp[i - 2],从而将空间复杂度优化到 $O(1)$。
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