0688. 骑士在棋盘上的概率

• 标签：动态规划
• 难度：中等

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题目大意

描述：在一个 n * n 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 (row, column) 开始，尝试进行 k 次 移动。行和列是从 0 开始的，左上角的单元格是 (0, 0)，右下角的单元格是 (n - 1, n - 1)。

象棋骑士有 8 种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。

每次骑士要移动时，它都会随机从 8 种可能的移动中选择一种（即使棋子会离开棋盘），然后移动到那里。骑士继续移动，直到它走了 k 步或离开了棋盘。

现在给定代表棋盘大小的整数 n、代表骑士移动次数的整数 k，以及代表骑士初始位置的坐标 row 和 column。

要求：返回骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率。

说明：

• $1 \le n \le 25$。
• $0 \le k \le 100$。
• $0 \le row, column \le n$。

示例：

• 示例 1：

输入：n = 3, k = 2, row = 0, column = 0
输出：0.0625
解释：有两步(到(1,2)，(2,1))可以让骑士留在棋盘上。在每一个位置上，也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。骑士留在棋盘上的总概率是 0.0625。

解题思路

思路 1：动态规划

1. 划分阶段

按照骑士所在位置和所走步数进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 dp[i][j][p] 表示为：从位置 (i, j) 出发，移动不超过 p 步的情况下，最后仍留在棋盘内的概率。

3. 状态转移方程

根据象棋骑士的 8 种可能的走法，dp[i][j][p] 的来源有八个方向（超出棋盘的无需再考虑）：

• 假设下一步的落点为 (new_i, new_j)。从当前步选择 8 个方向其中之一作为下一步方向的概率为 $\frac{1}{8}$。
• 而每个方向上落点仍在棋盘内的概率为 dp[new_i][new_j][p - 1]。所以从 (i, j) 走到 (new_i, new_j) 的可能性为 $dp[new_i][new_j] \times \frac{1}{8}$。

最终 $dp[i][j][p]$ 来源为 8 个方向上落点的概率之和，即：$dp[i][j][p] = \sum{ dp[new_i][new_j] \times \frac{1}{8} }$。

4. 初始条件

• 从位置 (i, j) 出发，移动不超过 0 步的情况下，最后仍留在棋盘内的概率为 1。

5. 最终结果

根据我们之前定义的状态，dp[i][j][p] 表示为：从位置 (i, j) 出发，移动不超过 p 步的情况下，最后仍留在棋盘内的概率。则最终结果为 dp[row][column][k]。

思路 1：动态规划代码

class Solution:
    def knightProbability(self, n: int, k: int, row: int, column: int) -> float:
        dp = [[[0 for _ in range(k + 1)] for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                dp[i][j][0] = 1

        directions = {(-1, -2), (-1, 2), (1, -2), (1, 2), (-2, -1), (-2, 1), (2, -1), (2, 1)}

        for p in range(1, k + 1):
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    for direction in directions:
                        new_i = i + direction[0]
                        new_j = j + direction[1]
                        if 0 <= new_i < n and 0 <= new_j < n:
                            dp[i][j][p] += dp[new_i][new_j][p - 1] / 8
        
        return dp[row][column][k]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2 * k)$。外三层循环的时间复杂度为 $O(n^2 * k)$，内层关于 directions 的循环每次执行 8 次，可以看做是常数级时间复杂度。
• 空间复杂度：$O(n^2 * k)$。用到了三维数组保存状态。