0686. 重复叠加字符串匹配

• 标签：字符串、字符串匹配
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定两个字符串 a 和 b。

要求：寻找重复叠加字符串 a 的最小次数，使得字符串 b 成为叠加后的字符串 a 的子串，如果不存在则返回 -1。

说明：

• 字符串 "abc" 重复叠加 0 次是 ""，重复叠加 1 次是 "abc"，重复叠加 2 次是 "abcabc"。
• $1 \le a.length \le 10^4$。
• $1 \le b.length \le 10^4$。
• a 和 b 由小写英文字母组成。

示例：

• 示例 1：

输入：a = "abcd", b = "cdabcdab"
输出：3
解释：a 重复叠加三遍后为 "abcdabcdabcd", 此时 b 是其子串。

• 示例 2：

输入：a = "a", b = "aa"
输出：2

解题思路

思路 1：KMP 算法

假设字符串 a 的长度为 n，b 的长度为 m。

把 b 看做是模式串，把字符串 a 叠加后的字符串看做是文本串，这道题就变成了单模式串匹配问题。

我们可以模拟叠加字符串 a 后进行单模式串匹配问题。模拟叠加字符串可以通过在遍历字符串匹配时对字符串 a 的长度 n 取余来实现。

那么问题关键点就变为了如何高效的进行单模式串匹配，以及字符串循环匹配的退出条件是什么。

单模式串匹配问题：可以用 KMP 算法来做。

循环匹配退出条件问题：假设我们用 i 遍历 a 叠加后字符串，用 j 遍历字符串 b。如果字符串 b 是 a 叠加后字符串的子串，那么 b 有两种可能：

1. b 直接是原字符串 a 的子串：这种情况下，最多遍历到 len(a)。
2. b 是 a 叠加后的字符串的子串：
   1. 最多遍历到 len(a) + len(b)，可以写为 while i < len(a) + len(b):，当 i == len(a) + len(b) 时跳出循环。
   2. 也可以写为 while i - j < len(a):，这种写法中 i - j 表示的是字符匹配开始的位置，如果匹配到 len(a) 时（即 i - j == len(a) 时）最开始位置的字符仍没有匹配，那么 b 也不可能是 a 叠加后的字符串的子串了，此时跳出循环。

最后我们需要计算一下重复叠加字符串 a 的最小次数。假设 index 使我们求出的匹配位置。

1. 如果 index == -1，则说明 b 不可能是 a 叠加后的字符串的子串，返回 False。
2. 如果 len(a) - index >= len(b)，则说明匹配位置未超过字符串 a 的长度，叠加 1 次（字符串 a 本身）就可以匹配。
3. 如果 len(a) - index < len(b)，则说明需要叠加才能匹配。此时最小叠加次数为 $\lfloor \frac{index + len(b) - 1}{len(a)} \rfloor + 1$。其中 index 代笔匹配开始前的字符串长度，加上 len(b) 后就是匹配到字符串 b 结束时最少需要的字符数，再 -1 是为了向下取整。 除以 len(a) 表示至少需要几个 a， 因为是向下取整，所以最后要加上 1。写成代码就是：(index + len(b) - 1) // len(a) + 1。

思路 1：代码

class Solution:
    # KMP 匹配算法，T 为文本串，p 为模式串
    def kmp(self, T: str, p: str) -> int:
        n, m = len(T), len(p)

        next = self.generateNext(p)

        i, j = 0, 0
        while i - j < n:
            while j > 0 and T[i % n] != p[j]:
                j = next[j - 1]
            if T[i % n] == p[j]:
                j += 1
            if j == m:
                return i - m + 1
            i += 1
        return -1

    def generateNext(self, p: str):
        m = len(p)
        next = [0 for _ in range(m)]

        left = 0
        for right in range(1, m):
            while left > 0 and p[left] != p[right]:
                left = next[left - 1]
            if p[left] == p[right]:
                left += 1
            next[right] = left

        return next

    def repeatedStringMatch(self, a: str, b: str) -> int:
        len_a = len(a)
        len_b = len(b)
        index = self.kmp(a, b)
        if index == -1:
            return -1
        if len_a - index >= len_b:
            return 1
        return (index + len(b) - 1) // len(a) + 1

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n + m)$，其中文本串 $a$ 的长度为 $n$，模式串 $b$ 的长度为 $m$。
• 空间复杂度：$O(m)$。