1025. 除数博弈

• 标签：脑筋急转弯、数学、动态规划、博弈
• 难度：简单

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题目大意

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。最初，黑板上有一个数字 n。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0。
• 用 n - x 替换黑板上的数字 n 。
• 如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 False。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

解题思路

• 如果 n 为奇数，则 n 的约数必然都是奇数；如果 n 为偶数，则 n 的约数可能为奇数也可能为偶数。
• 无论 n 为奇数还是偶数，都可以选择 1 作为约数。
• 无论 n 初始为多大的数，游戏到最终只能到 n == 2 结束，只要谁先到 n == 2，谁就赢得胜利。
• 当初始 n 为偶数时，爱丽丝只要一直选 1，那么鲍勃必然会一直面临 n 为奇数的情况，这样最后爱丽丝肯定能先到 n == 2，稳赢。
• 当初始 n 为奇数时，因为奇数的约数只能是奇数，奇数 - 奇数 必然是偶数，所以给鲍勃的数一定是偶数，鲍勃只需一直选 1 就会稳赢，此时爱丽丝稳输。

所以，当 n 为偶数时，爱丽丝稳赢。当 n 为奇数时，爱丽丝稳输。

代码

class Solution:
    def divisorGame(self, n: int) -> bool:
        return n & 1 == 0