剑指 Offer II 090. 环形房屋偷盗

• 标签：数组、动态规划
• 难度：中等

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题目大意

给定一个数组 nums，num[i] 代表第 i 间房屋存放的金额，假设房屋可以围成一圈，首尾相连。相邻的房屋装有防盗系统，假如相邻的两间房屋同时被偷，系统就会报警。假如你是一名专业的小偷。

要求：计算在不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

解题思路

「剑指 Offer II 089. 房屋偷盗」的升级版。可以用动态规划来解决问题，关键点在于找到状态转移方程。

先来考虑最简单的情况。

假如只有一间房屋，则直接偷这间房屋就能偷到最高金额，即 $dp[0] = nums[i]$。假如有两间房屋，那么就选择金额最大的那间房屋进行偷窃，就可以偷到最高金额，即 $dp[1] = max(nums[0], nums[1])$。

两间屋子以下，最多只能偷窃一间房屋，则不用考虑首尾相连的情况。如果三个屋子以上，偷窃了第一间房屋，则不能偷窃最后一间房屋。同样偷窃了最后一间房屋则不能偷窃第一间房屋。

假设总共房屋数量为 N，这种情况可以转换为分别求解 $[0, N - 2]$ 和 $[1, N - 1]$ 范围下首尾不相连的房屋所能偷窃的最高金额，这就变成了「剑指 Offer II 089. 房屋偷盗」的求解问题。

「剑指 Offer II 089. 房屋偷盗」求解思路如下：

如果房屋大于两间，则偷窃第 i 间房屋的时候，就有两种状态：

• 偷窃第 i 间房屋，那么第 i - 1 间房屋就不能偷窃了，偷窃的最高金额为：前 i - 2 间房屋的最高总金额 + 第 i 间房屋的金额，即 $dp[i] = dp[i-2] + nums[i]$；
• 不偷窃第 i 间房屋，那么第 i - 1 间房屋可以偷窃，偷窃的最高金额为：前 i - 1 间房屋的最高总金额，即 $dp[i] = dp[i-1]$。

然后这两种状态取最大值即可，即 $dp[i] = max( dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])$。

总结下就是：

$dp[i] = \begin{cases} nums[0], & i = 0 \cr max( nums[0], nums[1]) & i = 1 \cr max( dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]) & i \ge 2 \end{cases}$

代码

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        def helper(nums):
            size = len(nums)
            if size == 1:
                return nums[0]
            dp = [0 for _ in range(size)]
            for i in range(size):
                if i == 0:
                    dp[i] = nums[0]
                elif i == 1:
                    dp[i] = max(nums[i - 1], nums[i])
                else:
                    dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])
            return dp[-1]

        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        else:
            return max(helper(nums[1:]), helper(nums[:-1]))