01.图的定义和分类

图的定义和分类 #

1. 图的定义 #

图(Graph):由顶点的非空有限集合 $V$ (由 $n > 0$ 个顶点组成)与边的集合 $E$(顶点之间的关系)构成的结构。其形式化定义为 $G = (V, E)$。

  • 顶点(Vertex):图中的数据元素通常称为顶点,在下面的示意图中我们使用圆圈来表示顶点。
  • 边(Edge):图中两个数据元素之间的关联关系通常称为边,在下面的示意图中我们使用连接两个顶点之间的线段来表示边。边的形式化定义为:$e = \langle u, v \rangle$,表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边,其中 $u$ 称为起始点,$v$ 称为终止点。

  • 子图(Sub Graph):对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$,如果存在 $V^{'} \subseteq V$,$E^{'} \subseteq E$,则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。在下面的示意图中我们给出了一个图 $G$ 及其一个子图 $G^{'}$。特别的,根据定义,$G$ 也是其自身的子图。

2. 图的分类 #

2.1 无向图和有向图 #

按照边是否有方向,我们可以将图分为两种类型:「无向图」和「有向图」。

  • 无向图(Undirected Graph):如果图中的每条边都没有指向性,则称为无向图。例如朋友关系图、路线图都是无向图。
  • 有向图(Directed Graph):如果图中的每条边都具有指向性,则称为有向图。例如流程图是有向图。

在无向图中,每条边都是由两个顶点组成的无序对。例如下图左侧中的顶点 $v_1$ 和顶点 $v_2$ 之间的边记为 $(v_1, v_2)$ 或 $(v_2, v_1)$。

在有向图中,有向边也被称为弧,每条弧是由两个顶点组成的有序对,例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧,记为 $\langle v_1, v_2 \rangle$,$v_1$ 被称为弧尾,$v_2$ 被称为弧头,如下图所示。

如果无向图中有 $n$ 个顶点,则无向图中最多有 $n * (n - 1) / 2$ 条边。而具有 $n * (n - 1) / 2$ 条边的无向图称为 「完全无向图(Completed Undirected Graph)」

如果有向图中有 $n$ 个顶点,则有向图中最多有 $n * (n - 1)$ 条弧。而具有 $n * (n - 1)$ 条弧的有向图称为 「完全有向图(Completed Directed Graph)」

如下图所示,左侧为包含 4 个顶点的完全无向图,右侧为包含 4 个顶点的完全有向图。

下面介绍一下无向图和有向图中一个重要概念 「顶点的度」

  • 顶点的度:与该顶点 $v_i$ 相关联的边的条数,记为 $TD(v_i)$。

例如上图左侧的完全无向图中,顶点 $v_3$ 的度为 3

而对于有向图,我们可以将顶点的度分为 「顶点的出度」「顶点的入度」

  • 顶点的出度:以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数,记为 $OD(v_i)$。
  • 顶点的入度:以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数,记为 $ID(v_i)$。
  • 有向图中某顶点的度 = 该顶点的出度 + 该顶点的入度,即 $TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。

例如上图右侧的完全有向图中,顶点 $v_3$ 的出度为 3,入度为 3,顶点 $v_3$ 的度为 3 + 3 = 6

2.2 环形图和无环图 #

「路径」 是图中的一个重要概念,对于图 $G = (V, E)$,如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2},… , v_{i_m}$,使得 $(v_{i_0}, v_{i_1}),(v_{i_1}, v_{i_2}),…,(v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$(即他们都是图 G 的边,对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle,\langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle,…,\langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$),则称该顶点序列为顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径,其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点,$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。

简单来说,如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边,到达顶点 $v_{i_m}$,则称顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间有一条路径,其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。

  • 环(Circle):如果一条路径的起始点和终止点相同(即 $v_{i_0} = v_{i_m}$ ),则称这条路径为「回路」或者「环」。

  • 简单路径:顶点序列中顶点不重复出现的路径称为「简单路径」。

而根据图中是否有环,我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。

  • 环形图(Circular Graph):如果图中存在至少一条环路,则该图称为「环形图」。
  • 无环图(Acyclic Graph):如果图中不存在环路,则该图称为「无环图」。

特别的,在有向图中,如果不存在环路,则将该图称为「有向无环图(Directed Acyclic Graph)」,缩写为 DAG。因为有向无环图拥有为独特的拓扑结构,经常被用于处理动态规划、导航中寻求最短路径、数据压缩等多种算法场景。

如下图所示,分别为:无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。其中有向环形图中的顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。

环形图和无环图

2.3 连通图和非连通图 #

2.3.1 连通无向图和连通分量 #

在无向图中,如果从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 有路径,则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。

  • 连通无向图:在无向图中,如果图中任意两个顶点之间都是连通的,则称该图为连通无向图。
  • 非连通无向图:在无向图中,如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径,则该图称为非连通无向图。

如下图所示,左侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的,所以该图为连通无向图。右侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 都是连通的,但是 $v_1$ 和 $v_5$、$v_6$ 之间不存在任何路径,则该图为非连通无向图。

下面介绍一下无向图的「连通分量」概念。有些无向图可能不是连通无向图,但是其子图可能是连通的。这些子图称为原图的连通子图。而无向图的一个极大连通子图(不存在包含它的更大的连通子图)则称为该图的「连通分量」。

  • 连通子图:如果无向图的子图是连通无向图,则该子图称为原图的连通子图。
  • 连通分量:无向图中的一个极大连通子图(不存在包含它的更大的连通子图)称为该图的连通分量。
  • 极⼤连通⼦图:无向图中的一个连通子图,并且不存在包含它的更大的连通子图。

例如上图中右侧的非连通无向图,其本身是非连通的。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的,并且不存在包含它的更大的连通子图了,所以该子图是原图的一个连通分量。同理,顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图也是原图的一个连通分量。

2.3.2 强连通有向图和强连通分量 #

在有向图中,如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 有路径,并且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径,则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是连通的。

  • 强连通有向图:如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$,从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 都有路径,则称该图为强连通有向图。
  • 非强连通有向图:如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径,则该图称为非强连通有向图。

如下图所示,左侧图中任意两个顶点之间都有路径,则左侧图为强连通有向图。右侧图中顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点,则右侧图为非强连通有向图。

与无向图类似,有向图的一个极大强连通子图称为该图的 强连通分量

  • 强连通子图:如果有向图的子图是连通有向图,则该子图称为原图的强连通子图。
  • 强连通分量:有向图中的一个极⼤强连通⼦图,称为该图的强连通分量。
  • 极⼤强连通⼦图:有向图中的一个强连通子图,并且不存在包含它的更大的强连通子图。

例如上图中,右侧的非强连通有向图,其本身不是强连通的(顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点)。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图(即上图的左侧图)是强连通的,并且不存在包含它的更大的强连通子图了,所以该子图是原图的一个强连通分量(即上图中的左侧图是右侧图的强连通分量)。同理,顶点 $v_7$ 构成的子图也是原图的一个强连通分量。

2.4 带权图 #

有时,图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系,还需要表示这一关系的具体细节。这时候我们需要在边上带一些数据信息,这些数据信息被称为 。在具体应用中,权值可以具有某种具体意义,比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。

  • 带权图:如果图的每条边都被赋以⼀个权值,这种图称为带权图。
  • 网络:带权的连通⽆向图称为⽹络。

在下面的示意图中,我们给出了一个带权图的例子。

2.5 稠密图和稀疏图 #

根据图中边的稀疏程度,我们可以将图分为「稠密图」和「稀疏图」。这是一个模糊的概念,目前为止还没有给出一个量化的定义。

  • 稠密图(Dense Graph):有很多条边或弧(边的条数 e 接近于完全图的边数)的图称为稠密图。
  • 稀疏图(Sparse Graph):有很少条边或弧(边的条数 e 远小于完全图的边数,如 $e < nlog_2n$)的图称为稀疏图。

参考资料 #

  • 【书籍】ACM-ICPC 程序设计系列 - 图论及应用 - 陈宇 吴昊 主编
  • 【书籍】数据结构教程 第 3 版 - 唐发根 著
  • 【书籍】大话数据结构 - 程杰 著
  • 【书籍】算法训练营 - 陈小玉 著
  • 【书籍】Python 数据结构与算法分析 第 2 版 - 布拉德利·米勒 戴维·拉努姆 著
  • 【博文】 图的基础知识 | 小浩算法
  • 【博文】 链式前向星及其简单应用 | Malash’s Blog
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