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01. 枚举算法知识

ITCharge大约 9 分钟

枚举算法知识

1. 枚举算法简介

枚举算法(Enumeration Algorithm):也称为穷举算法,指的是按照问题本身的性质,一一列举出该问题所有可能的解,并在逐一列举的过程中,将它们逐一与目标状态进行比较以得出满足问题要求的解。在列举的过程中,既不能遗漏也不能重复。

枚举算法的核心思想是:通过列举问题的所有状态,将它们逐一与目标状态进行比较,从而得到满足条件的解。

由于枚举算法要通过列举问题的所有状态来得到满足条件的解,因此,在问题规模变大时,其效率一般是比较低的。但是枚举算法也有自己特有的优点:

  1. 多数情况下容易编程实现,也容易调试。
  2. 建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上,所以算法的正确性比较容易证明。

所以,枚举算法通常用于求解问题规模比较小的问题,或者作为求解问题的一个子算法出现,通过枚举一些信息并进行保存,而这些消息的有无对主算法效率的高低有着较大影响。

2. 枚举算法的解题思路

2.1 枚举算法的解题思路

枚举算法是设计最简单、最基本的搜索算法。是我们在遇到问题时,最应该优先考虑的算法。

因为其实现足够简单,所以在遇到问题时,我们往往可以先通过枚举算法尝试解决问题,然后在此基础上,再去考虑其他优化方法和解题思路。

采用枚举算法解题的一般思路如下:

  1. 确定枚举对象、枚举范围和判断条件,并判断条件设立的正确性。
  2. 一一枚举可能的情况,并验证是否是问题的解。
  3. 考虑提高枚举算法的效率。

我们可以从下面几个方面考虑提高算法的效率:

  1. 抓住问题状态的本质,尽可能缩小问题状态空间的大小。
  2. 加强约束条件,缩小枚举范围。
  3. 根据某些问题特有的性质,例如对称性等,避免对本质相同的状态重复求解。

2.2 枚举算法的简单应用

下面举个著名的例子:「百钱买百鸡问题」。这个问题是我国古代数学家张丘在「算经」一书中提出的。该问题叙述如下:

百钱买百鸡问题:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一;百钱买百鸡,则鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?

翻译一下,意思就是:公鸡一只五块钱,母鸡一只三块钱,小鸡三只一块钱。现在我们用 100100 块钱买了 100100 只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?

下面我们根据算法的一般思路来解决一下这道题。

  1. 确定枚举对象、枚举范围和判断条件,并判断条件设立的正确性。

    1. 确定枚举对象:枚举对象为公鸡、母鸡、小鸡的只数,那么我们可以用变量 xxyyzz 分别来代表公鸡、母鸡、小鸡的只数。
    2. 确定枚举范围:因为总共买了 100100 只鸡,所以 0x,y,z1000 \le x, y, z \le 100,则 xxyyzz 的枚举范围为 [0,100][0, 100]
    3. 确定判断条件:根据题意,我们可以列出两个方程式:5×x+3×y+z3=1005 \times x + 3 \times y + \frac{z}{3} = 100x+y+z=100x + y + z = 100。在枚举 xxyyzz 的过程中,我们可以根据这两个方程式来判断是否当前状态是否满足题意。
  2. 一一枚举可能的情况,并验证是否是问题的解。

    1. 根据枚举对象、枚举范围和判断条件,我们可以顺利写出对应的代码。

      class Solution:
          def buyChicken(self):
              for x in range(101):
                  for y in range(101):
                      for z in range(101):
                          if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100 and x + y + z == 100:
                              print("公鸡 %s 只,母鸡 %s 只,小鸡 %s 只" % (x, y, z))
      
  3. 考虑提高枚举算法的效率。

    1. 在上面的代码中,我们枚举了 xxyyzz,但其实根据方程式 x+y+z=100x + y + z = 100,得知:zz 可以通过 z=100xyz = 100 - x - y 而得到,这样我们就不用再枚举 zz 了。
    2. 在上面的代码中,对 xxyy 的枚举范围是 [0,100][0, 100],但其实如果所有钱用来买公鸡,最多只能买 2020 只,同理,全用来买母鸡,最多只能买 3333 只。所以对 xx 的枚举范围可改为 [0,20][0, 20]yy 的枚举范围可改为 [0,33][0, 33]
    class Solution:
        def buyChicken(self):
            for x in range(21):
                for y in range(34):
                    z = 100 - x - y
                    if z % 3 == 0 and 5 * x + 3 * y + z // 3 == 100:
                        print("公鸡 %s 只,母鸡 %s 只,小鸡 %s 只" % (x, y, z))
    

3. 枚举算法的应用

3.1 两数之和

3.1.1 题目链接

3.1.2 题目大意

描述:给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target

要求:在该数组中找出和为 target 的两个整数,并输出这两个整数的下标。可以按任意顺序返回答案。

说明

  • 2nums.length1042 \le nums.length \le 10^4
  • 109nums[i]109-10^9 \le nums[i] \le 10^9
  • 109target109-10^9 \le target \le 10^9
  • 只会存在一个有效答案。

示例

  • 示例 1:
输入:nums = [2,7,11,15], target = 9
输出:[0,1]
解释:因为 nums[0] + nums[1] == 9 ,返回 [0, 1]
  • 示例 2:
输入:nums = [3,2,4], target = 6
输出:[1,2]

3.1.3 解题思路

这里说下枚举算法的解题思路。

思路 1:枚举算法
  1. 使用两重循环枚举数组中每一个数 nums[i]nums[j],判断所有的 nums[i] + nums[j] 是否等于 target
  2. 如果出现 nums[i] + nums[j] == target,则说明数组中存在和为 target 的两个整数,将两个整数的下标 ij 输出即可。
思路 1:代码
class Solution:
    def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i + 1, len(nums)):
                if i != j and nums[i] + nums[j] == target:
                    return [i, j]
        return []
思路 1:复杂度分析
  • 时间复杂度O(n2)O(n^2)
  • 空间复杂度O(1)O(1)

3.2 计数质数

3.2.1 题目链接

3.2.2 题目大意

描述:给定 一个非负整数 nn

要求:统计小于 nn 的质数数量。

说明

  • 0n51060 \le n \le 5 * 10^6

示例

  • 示例 1:
输入 n = 10
输出 4
解释 小于 10 的质数一共有 4, 它们是 2, 3, 5, 7
  • 示例 2:
输入:n = 1
输出:0

3.2.3 解题思路

这里说下枚举算法的解题思路(注意:提交会超时,只是讲解一下枚举算法的思路)。

思路 1:枚举算法(超时)

对于小于 nn 的每一个数 xx,我们可以枚举区间 [2,x1][2, x - 1] 上的数是否是 xx 的因数,即是否存在能被 xx 整数的数。如果存在,则该数 xx 不是质数。如果不存在,则该数 xx 是质数。

这样我们就可以通过枚举 [2,n1][2, n - 1] 上的所有数 xx,并判断 xx 是否为质数。

在遍历枚举的同时,我们维护一个用于统计小于 nn 的质数数量的变量 cnt。如果符合要求,则将计数 cnt11。最终返回该数目作为答案。

考虑到如果 iixx 的因数,则 xi\frac{x}{i} 也必然是 xx 的因数,则我们只需要检验这两个因数中的较小数即可。而较小数一定会落在 [2,x][2, \sqrt x] 上。因此我们在检验 xx 是否为质数时,只需要枚举 [2,x][2, \sqrt x] 中的所有数即可。

利用枚举算法单次检查单个数的时间复杂度为 O(n)O(\sqrt{n}),检查 nn 个数的整体时间复杂度为 O(nn)O(n \sqrt{n})

思路 1:代码
class Solution:
    def isPrime(self, x):
        for i in range(2, int(pow(x, 0.5)) + 1):
            if x % i == 0:
                return False
        return True

    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        cnt = 0
        for x in range(2, n):
            if self.isPrime(x):
                cnt += 1
        return cnt
思路 1:复杂度分析
  • 时间复杂度O(n×n)O(n \times \sqrt{n})
  • 空间复杂度O(1)O(1)

3.3 统计平方和三元组的数目

3.3.1 题目链接

3.3.2 题目大意

描述:给你一个整数 nn

要求:请你返回满足 1a,b,cn1 \le a, b, c \le n 的平方和三元组的数目。

说明

  • 平方和三元组:指的是满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 的整数三元组 (a,b,c)(a, b, c)
  • 1n2501 \le n \le 250

示例

  • 示例 1:
输入 n = 5
输出 2
解释 平方和三元组为 (3,4,5)(4,3,5)
  • 示例 2:
输入:n = 10
输出:4
解释:平方和三元组为 (3,4,5)(4,3,5)(6,8,10)(8,6,10)

3.3.3 解题思路

思路 1:枚举算法

我们可以在 [1,n][1, n] 区间中枚举整数三元组 (a,b,c)(a, b, c) 中的 aabb。然后判断 a2+b2a^2 + b^2 是否小于等于 nn,并且是完全平方数。

在遍历枚举的同时,我们维护一个用于统计平方和三元组数目的变量 cnt。如果符合要求,则将计数 cnt11。最终,我们返回该数目作为答案。

利用枚举算法统计平方和三元组数目的时间复杂度为 O(n2)O(n^2)

  • 注意:在计算中,为了防止浮点数造成的误差,并且两个相邻的完全平方正数之间的距离一定大于 11,所以我们可以用 a2+b2+1\sqrt{a^2 + b^2 + 1} 来代替 a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}
思路 1:代码
class Solution:
    def countTriples(self, n: int) -> int:
        cnt = 0
        for a in range(1, n + 1):
            for b in range(1, n + 1):
                c = int(sqrt(a * a + b * b + 1))
                if c <= n and a * a + b * b == c * c:
                    cnt += 1
        return cnt
思路 1:复杂度分析
  • 时间复杂度O(n2)O(n^2)
  • 空间复杂度O(1)O(1)