线性 DP 知识（二）

4. 矩阵线性 DP问题

矩阵线性 DP 问题：问题的输入为二维矩阵的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i][j]$，表示为：从「位置 $(0, 0)$」到达「位置 $(i, j)$」的相关解。

4.1 最小路径和

4.1.1 题目链接

• 64. 最小路径和 - 力扣

4.1.2 题目大意

描述：给定一个包含非负整数的 $m \times n$ 大小的网格 $grid$。

要求：找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：

• 每次只能向下或者向右移动一步。
• $m == grid.length$。
• $n == grid[i].length$。
• $1 \le m, n \le 200$。
• $0 \le grid[i][j] \le 100$。

示例：

• 示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

• 示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

4.1.3 解题思路

思路 1：动态规划

1. 划分阶段

按照路径的结尾位置（行位置、列位置组成的二维坐标）进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i][j]$ 为：从位置 $(0, 0)$ 到达位置 $(i, j)$ 的最小路径和。

3. 状态转移方程

当前位置 $(i, j)$ 只能从左侧位置 $(i, j - 1)$ 或者上方位置 $(i - 1, j)$ 到达。为了使得从左上角到达 $(i, j)$ 位置的最小路径和最小，应从 $(i, j - 1)$ 位置和 $(i - 1, j)$ 位置选择路径和最小的位置达到 $(i, j)$。

即状态转移方程为：$dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]$。

4. 初始条件

• 当左侧和上方是矩阵边界时（即 $i = 0, j = 0$），$dp[i][j] = grid[i][j]$。
• 当只有左侧是矩阵边界时（即 $i \ne 0, j = 0$），只能从上方到达，$dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]$。
• 当只有上方是矩阵边界时（即 $i = 0, j \ne 0$），只能从左侧到达，$dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j]$。

5. 最终结果

根据状态定义，最后输出 $dp[rows - 1][cols - 1]$（即从左上角到达 $(rows - 1, cols - 1)$ 位置的最小路径和）即可。其中 $rows$、$cols$ 分别为 $grid$ 的行数、列数。

思路 1：代码

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        rows, cols = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]

        dp[0][0] = grid[0][0]
        
        for i in range(1, rows):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        
        for j in range(1, cols):
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]

        for i in range(1, rows):
            for j in range(1, cols):
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
            
        return dp[rows - 1][cols - 1]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m * n)$，其中 $m$、$n$ 分别为 $grid$ 的行数和列数。
• 空间复杂度：$O(m * n)$。

4.2 最大正方形

4.2.1 题目链接

• 221. 最大正方形 - 力扣

4.2.2 题目大意

描述：给定一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵 $matrix$。

要求：找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

说明：

• $m == matrix.length$。
• $n == matrix[i].length$。
• $1 \le m, n \le 300$。
• $matrix[i][j]$ 为 '0' 或 '1'。

示例：

• 示例 1：

输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4

• 示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1

4.2.3 解题思路

思路 1：动态规划

1. 划分阶段

按照正方形的右下角坐标进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i][j]$ 表示为：以矩阵位置 $(i, j)$ 为右下角，且值包含 $1$ 的正方形的最大边长。

3. 状态转移方程

只有当矩阵位置 $(i, j)$ 值为 $1$ 时，才有可能存在正方形。

• 如果矩阵位置 $(i, j)$ 上值为 $0$，则 $dp[i][j] = 0$。
• 如果矩阵位置 $(i, j)$ 上值为 $1$，则 $dp[i][j]$ 的值由该位置上方、左侧、左上方三者共同约束的，为三者中最小值加 $1$。即：$dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1$。

4. 初始条件

• 默认所有以矩阵位置 $(i, j)$ 为右下角，且值包含 $1$ 的正方形的最大边长都为 $0$，即 $dp[i][j] = 0$。

5. 最终结果

根据我们之前定义的状态， $dp[i][j]$ 表示为：以矩阵位置 $(i, j)$ 为右下角，且值包含 $1$ 的正方形的最大边长。则最终结果为所有 $dp[i][j]$ 中的最大值。

思路 1：代码

class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
        max_size = 0
        dp = [[0 for _ in range(cols + 1)] for _ in range(rows + 1)]
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                if matrix[i][j] == '1':
                    if i == 0 or j == 0:
                        dp[i][j] = 1
                    else:
                        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
                    max_size = max(max_size, dp[i][j])
        return max_size * max_size

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m \times n)$，其中 $m$、$n$ 分别为二维矩阵 $matrix$ 的行数和列数。
• 空间复杂度：$O(m \times n)$。

5. 无串线性 DP 问题

无串线性 DP 问题：问题的输入不是显式的数组或字符串，但依然可分解为若干子问题的线性 DP 问题。

5.1 整数拆分

5.1.1 题目链接

• 343. 整数拆分 - 力扣

5.1.2 题目大意

描述：给定一个正整数 $n$，将其拆分为 $k (k \ge 2)$ 个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。

要求：返回可以获得的最大乘积。

说明：

• $2 \le n \le 58$。

示例：

• 示例 1：

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

• 示例 2：

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

5.1.3 解题思路

思路 1：动态规划

1. 划分阶段

按照正整数进行划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i]$ 表示为：将正整数 $i$ 拆分为至少 $2$ 个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。

3. 状态转移方程

当 $i \ge 2$ 时，假设正整数 $i$ 拆分出的第 $1$ 个正整数是 $j(1 \le j < i)$，则有两种方法：

1. 将 $i$ 拆分为 $j$ 和 $i - j$ 的和，且 $i - j$ 不再拆分为多个正整数，此时乘积为：$j \times (i - j)$。
2. 将 $i$ 拆分为 $j$ 和 $i - j$ 的和，且 $i - j$ 继续拆分为多个正整数，此时乘积为：$j \times dp[i - j]$。

则 $dp[i]$ 取两者中的最大值。即：$dp[i] = max(j \times (i - j), j \times dp[i - j])$。

由于 $1 \le j < i$，需要遍历 $j$ 得到 $dp[i]$ 的最大值，则状态转移方程如下：

$dp[i] = max_{1 \le j < i}\lbrace max(j \times (i - j), j \times dp[i - j]) \rbrace$。

4. 初始条件

• $0$ 和 $1$ 都不能被拆分，所以 $dp[0] = 0, dp[1] = 0$。

5. 最终结果

根据我们之前定义的状态，$dp[i]$ 表示为：将正整数 $i$ 拆分为至少 $2$ 个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。则最终结果为 $dp[n]$。

思路 1：代码

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        for i in range(2, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)
        return dp[n]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

5.2 只有两个键的键盘

5.2.1 题目链接

• 650. 只有两个键的键盘

5.2.2 题目大意

描述：最初记事本上只有一个字符 'A'。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

• Copy All（复制全部）：复制这个记事本中的所有字符（不允许仅复制部分字符）。
• Paste（粘贴）：粘贴上一次复制的字符。

现在，给定一个数字 $n$，需要使用最少的操作次数，在记事本上输出恰好 $n$ 个 'A' 。

要求：返回能够打印出 $n$ 个 'A' 的最少操作次数。

说明：

• $1 \le n \le 1000$。

示例：

• 示例 1：

输入：3
输出：3
解释
最初, 只有一个字符 'A'。
第 1 步, 使用 Copy All 操作。
第 2 步, 使用 Paste 操作来获得 'AA'。
第 3 步, 使用 Paste 操作来获得 'AAA'。

• 示例 2：

输入：n = 1
输出：0

5.2.3 解题思路

思路 1：动态规划

1. 划分阶段

按照字符 'A' 的个数进行阶段划分。

2. 定义状态

定义状态 $dp[i]$ 表示为：通过「复制」和「粘贴」操作，得到 $i$ 个字符 'A'，最少需要的操作数。

3. 状态转移方程

1. 对于 $i$ 个字符 'A'，如果 $i$ 可以被一个小于 $i$ 的整数 $j$ 除尽（$j$ 是 $i$ 的因子），则说明 $j$ 个字符 'A' 可以通过「复制」+「粘贴」总共 $\frac{i}{j}$ 次得到 $i$ 个字符 'A'。
2. 而得到 $j$ 个字符 'A'，最少需要的操作数可以通过 $dp[j]$ 获取。

则我们可以枚举 $i$ 的因子，从中找到在满足 $j$ 能够整除 $i$ 的条件下，最小的 $dp[j] + \frac{i}{j}$，即为 $dp[i]$，即 $dp[i] = min_{j | i}(dp[i], dp[j] + \frac{i}{j})$。

由于 $j$ 能够整除 $i$，则 $j$ 与 $\frac{i}{j}$ 都是 $i$ 的因子，两者中必有一个因子是小于等于 $\sqrt{i}$ 的，所以在枚举 $i$ 的因子时，我们只需要枚举区间 $[1, \sqrt{i}]$ 即可。

综上所述，状态转移方程为：$dp[i] = min_{j | i}(dp[i], dp[j] + \frac{i}{j}, dp[\frac{i}{j}] + j)$。

4. 初始条件

• 当 $i = 1$ 时，最少需要的操作数为 $0$。所以 $dp[1] = 0$。

5. 最终结果

根据我们之前定义的状态，$dp[i]$ 表示为：通过「复制」和「粘贴」操作，得到 $i$ 个字符 'A'，最少需要的操作数。 所以最终结果为 $dp[n]$。

思路 1：动态规划代码

import math

class Solution:
    def minSteps(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i] = float('inf')
            for j in range(1, int(math.sqrt(n)) + 1):
                if i % j == 0:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + i // j, dp[i // j] + j)

        return dp[n]

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n \sqrt{n})$。外层循环遍历的时间复杂度是 $O(n)$，内层循环遍历的时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$，所以总体时间复杂度为 $O(n \sqrt{n})$。
• 空间复杂度：$O(n)$。用到了一维数组保存状态，所以总体空间复杂度为 $O(n)$。

参考资料

• 【书籍】算法竞赛进阶指南
• 【文章】动态规划概念和基础线性DP | 潮汐朝夕