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0330. 按要求补齐数组

• 标签：贪心、数组
• 难度：困难

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题目大意

描述：

给定一个已排序的正整数数组 $nums$，和一个正整数 $n$。从 $[1, n]$ 区间内选取任意个数字补充到 $nums$ 中，使得 $[1, n]$ 区间内的任何数字都可以用 $nums$ 中某几个数字的和来表示。

要求：

请返回「满足上述要求的最少需要补充的数字个数」。

说明：

• $1 \le nums.length \le 10^{3}$。
• $1 \le nums[i] \le 10^{4}$。
• $nums$ 按升序排列。
• $1 \le n \le 2^{31} - 1$。

示例：

• 示例 1：

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中， 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

• 示例 2：

输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2,4]。

解题思路

思路 1：贪心算法

使用贪心算法来解决这个问题。核心思想是维护一个变量 $miss$，表示当前能够表示的最大连续范围是 $[1, miss)$。

具体步骤：

1. 初始化：设置 $miss = 1$，表示当前能表示的最大连续范围是 $[1, 1)$，即空集。
2. 遍历数组：
   • 如果当前数字 $nums[i] \le miss$，说明可以用现有数字表示 $[1, miss + nums[i])$ 范围内的所有数字，更新 $miss = miss + nums[i]$。
   • 如果当前数字 $nums[i] > miss$，说明存在缺口，需要补充数字 $miss$，然后更新 $miss = miss + miss = 2 \times miss$。
3. 处理剩余范围：当数组遍历完后，如果 $miss \le n$，继续补充数字直到能表示 $[1, n]$ 范围内的所有数字。

关键观察：每次补充数字时，选择当前 $miss$ 值是最优的，因为这样可以最大化覆盖范围。

思路 1：代码

class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        
        patches = 0  # 记录需要补充的数字个数
        miss = 1     # 当前能表示的最大连续范围是 [1, miss)
        i = 0        # 数组索引
        
        while miss <= n:
            # 如果当前数字在可表示范围内，扩展可表示范围
            if i < len(nums) and nums[i] <= miss:
                miss += nums[i]
                i += 1
            else:
                # 需要补充数字 miss，扩展可表示范围
                miss += miss
                patches += 1
        
        return patches

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(m + \log n)$，其中 $m$ 是数组 $nums$ 的长度。需要遍历数组一次，然后最多需要 $\log n$ 次补充操作。
• 空间复杂度：$O(1)$。只使用了常数额外空间。