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0972. 相等的有理数

• 标签：数学、字符串
• 难度：困难

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题目大意

描述：

给定两个字符串 $s$ 和 $t$，每个字符串代表一个非负有理数。

有理数 最多可以用三个部分来表示：整数部分 <IntegerPart>、小数非重复部分 <NonRepeatingPart> 和小数重复部分 <(><RepeatingPart><)>。数字可以用以下三种方法之一来表示：

• <IntegerPart>
  • 例： 0, 12 和 123
• <IntegerPart><.><NonRepeatingPart>
  • 例： 0.5, 1., 2.12 和 123.0001
• <IntegerPart><.><NonRepeatingPart><(><RepeatingPart><)>
  • 例： 0.1(6), 1.(9), 123.00(1212)

十进制展开的重复部分通常在一对圆括号内表示。例如：

1 / 6 = 0.16666666... = 0.1(6) = 0.1666(6) = 0.166(66)

要求：

只有当它们表示相同的数字时才返回 true，否则返回 false。字符串中可以使用括号来表示有理数的重复部分。

说明：

• 每个部分仅由数字组成。
• 整数部分 <IntegerPart> 不会以零开头。（零本身除外）
• $1 \le$ <IntegerPart>.length $\le 4$。
• $0 \le$ <NonRepeatingPart>.length $\le 4$。
• $1 \le$ <RepeatingPart>.length $\le 4$。

示例：

• 示例 1：

输入：s = "0.(52)", t = "0.5(25)"
输出：true
解释：因为 "0.(52)" 代表 0.52525252...，而 "0.5(25)" 代表 0.52525252525.....，则这两个字符串表示相同的数字。

• 示例 2：

输入：s = "0.1666(6)", t = "0.166(66)"
输出：true

解题思路

思路 1：数学 + 字符串处理

思路

这道题要求判断两个有理数字符串是否相等。有理数可以表示为：整数部分 + 非重复小数部分 + 重复小数部分。

关键思路：

1. 解析字符串：将字符串解析为整数部分、非重复部分和重复部分。
2. 转换为分数：将有理数转换为分数形式进行比较。
   • 对于重复小数，可以使用数学公式：$0.\overline{abc} = \frac{abc}{999}$，$0.d\overline{abc} = \frac{d}{10} + \frac{abc}{9990}$
3. 比较：将两个分数化简后比较是否相等。

由于实现较复杂，我们可以使用一个简化的方法：将有理数展开为足够长的小数（例如 $20$ 位），然后比较。

代码

class Solution:
    def isRationalEqual(self, s: str, t: str) -> bool:
        def parse(s):
            """将有理数字符串转换为浮点数"""
            # 查找小数点和括号
            if '.' not in s:
                return float(s)
            
            integer_part, decimal_part = s.split('.')
            
            if '(' not in decimal_part:
                # 没有重复部分
                return float(s)
            
            # 有重复部分
            non_repeat, repeat = decimal_part.split('(')
            repeat = repeat.rstrip(')')
            
            # 构造足够长的小数（20 位）
            # 重复部分重复多次
            repeat_count = (20 - len(non_repeat)) // len(repeat) + 1
            full_decimal = non_repeat + repeat * repeat_count
            full_decimal = full_decimal[:20]  # 截取 20 位
            
            return float(integer_part + '.' + full_decimal)
        
        # 比较两个有理数（使用足够小的误差）
        return abs(parse(s) - parse(t)) < 1e-9

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$，字符串长度有限，处理时间为常数。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用了常数个额外变量。