0983. 最低票价

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0983. 最低票价

标签：数组、动态规划
难度：中等

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0983. 最低票价 - 力扣

题目大意

描述：

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 $days$ 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。
火车票有「三种不同的销售方式」：

一张「为期一天」的通行证售价为 $costs[0]$ 美元；
一张「为期七天」的通行证售价为 $costs[1]$ 美元；
一张「为期三十天」的通行证售价为 $costs[2]$ 美元。

通行证允许数天无限制的旅行。例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

要求：

返回你想要完成在给定的列表 $days$ 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

说明：

$1 \le days.length \le 365$ 。
$1 \le days[i] \le 365$ 。
$days$ 按顺序严格递增。
$costs.length == 3$ 。
$1 \le costs[i] \le 10^{3}$ 。

示例：

示例 1：

输入：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出：11
解释： 
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。

示例 2：

输入：days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
输出：17
解释：
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = $15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 $17，并完成了你计划的每一天旅行。

解题思路

思路 1：动态规划

这是一个经典的动态规划问题，需要考虑三种购票方案的最优组合。

状态定义： $dp[i]$ 表示到第 $i$ 天为止的最低消费。
状态转移：对于旅行日 $days[i]$ $d a ys [i]$ ，可以选择三种购票方案：
- 购买 $1$ 天通行证： $dp[i] = dp[i-1] + costs[0]$
- 购买 $7$ 天通行证： $dp[i] = dp[j] + costs[1]$ ，其中 $j$ 是 $7$ 天前的最后一个旅行日
- 购买 $30$ 天通行证： $dp[i] = dp[k] + costs[2]$ ，其中 $k$ 是 $30$ 天前的最后一个旅行日
优化：可以使用数组索引而不是日期作为状态，避免处理非旅行日。

思路 1：代码

class Solution:
    def mincostTickets(self, days: List[int], costs: List[int]) -> int:
        n = len(days)
        dp = [0] * n
        
        for i in range(n):
            # 方案 1：购买 1 天通行证
            dp[i] = (dp[i - 1] if i > 0 else 0) + costs[0]
            
            # 方案 2：购买 7 天通行证
            j = i
            while j >= 0 and days[i] - days[j] < 7:
                j -= 1
            cost_7 = (dp[j] if j >= 0 else 0) + costs[1]
            dp[i] = min(dp[i], cost_7)
            
            # 方案 3：购买 30 天通行证
            k = i
            while k >= 0 and days[i] - days[k] < 30:
                k -= 1
            cost_30 = (dp[k] if k >= 0 else 0) + costs[2]
            dp[i] = min(dp[i], cost_30)
        
        return dp[n - 1]

思路 1：复杂度分析

时间复杂度： $O(n \cdot d)$ ，其中 $n$ 是旅行天数， $d$ 是通行证的最大天数（ $30$ ）。对于每个旅行日，最多向前查找 $30$ 天。
空间复杂度： $O(n)$ ，需要使用数组存储 DP 状态。