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1276. 不浪费原料的汉堡制作方案

• 标签：数学
• 难度：中等

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题目大意

描述：给定两个整数 $tomatoSlices$ 和 $cheeseSlices$，分别表示番茄片和奶酪片的数量。制作一个巨无霸汉堡需要 $4$ 片番茄和 $1$ 片奶酪，制作一个小皇堡需要 $2$ 片番茄和 $1$ 片奶酪。

要求：返回 $[total\_jumbo, total\_small]$ 使得恰好用完所有原料。如果无法恰好用完，返回 $[]$。

说明：

• $0 \le tomatoSlices \le 10^{7}$。
• $0 \le cheeseSlices \le 10^{7}$。

示例：

• 示例 1：

输入：tomatoSlices = 16, cheeseSlices = 7
输出：[1, 6]
解释：制作 1 个巨无霸和 6 个小皇堡需要 4×1+2×6=16 片番茄和 1+6=7 片奶酪。

• 示例 2：

输入：tomatoSlices = 17, cheeseSlices = 4
输出：[]
解释：只靠整数个汉堡无法恰好用完。

• 示例 3：

输入：tomatoSlices = 4, cheeseSlices = 17
输出：[]

解题思路

思路 1：数学解方程组

1. 核心思想

这是一道经典的鸡兔同笼问题（二元一次方程组）。

设巨无霸汉堡数量为 $x$，小皇堡数量为 $y$。根据题意：

$$\begin{cases} 4x + 2y = tomatoSlices \\ x + y = cheeseSlices \end{cases}$$

解方程组：

由第二个方程得 $y = cheeseSlices - x$，代入第一个方程：

$$4x + 2(cheeseSlices - x) = tomatoSlices$$

$$4x + 2 \times cheeseSlices - 2x = tomatoSlices$$

$$2x = tomatoSlices - 2 \times cheeseSlices$$

$$x = \frac{tomatoSlices - 2 \times cheeseSlices}{2}$$

$$y = cheeseSlices - x$$

2. 合法解的条件

解必须满足：

1. $x$ 是非负整数：$tomatoSlices - 2 \times cheeseSlices$ 必须是偶数且 $\ge 0$。
2. $y$ 是非负整数。
3. 代入验证原方程（确保 $4x + 2y = tomatoSlices$，但根据推导，条件 1 已经隐含了这个等式的正确性）。

3. 具体步骤

第 1 步：计算 $x = (tomatoSlices - 2 \times cheeseSlices) / 2$。

第 2 步：如果 $x$ 是偶数且 $\ge 0$，且 $y = cheeseSlices - x \ge 0$，返回 $[x, y]$。

第 3 步：否则返回 $[]$。

4. 结合示例走一遍

$tomatoSlices = 16, cheeseSlices = 7$

$$x = \frac{16 - 2 \times 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y = 7 - 1 = 6$$

$x \ge 0$，$y \ge 0$，返回 $[1, 6]$。

$tomatoSlices = 17, cheeseSlices = 4$

$$x = \frac{17 - 2 \times 4}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$

$x$ 不是整数，返回 $[]$。

思路 1：代码

class Solution:
    def numOfBurgers(self, tomatoSlices: int, cheeseSlices: int) -> List[int]:
        # 解方程组
        # 4x + 2y = tomato
        # x + y = cheese
        if (tomatoSlices - 2 * cheeseSlices) % 2 != 0:
            return []
        x = (tomatoSlices - 2 * cheeseSlices) // 2
        y = cheeseSlices - x
        if x >= 0 and y >= 0:
            return [x, y]
        return []

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$，只需常数次计算。
• 空间复杂度：$O(1)$，只使用常数个变量。