6.1 图论基础

1. 图的定义

图（Graph）：由顶点集合 $V$ 与边集合 $E$（顶点之间的关系）构成的数据结构。图的形式化定义为 $G = (V, E)$。

• 顶点（Vertex）：图中的基本元素，通常称为顶点，表示对象或节点。顶点的集合 $V$ 是有限非空集合，包含 $n > 0$ 个顶点。如下面的示意图所示，通常我们使用圆圈来表示顶点。
• 边（Edge）：顶点之间的关系或连接。边的形式化定义为：$e = \langle u, v \rangle$，表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边，其中 $u$ 称为起始点，$v$ 称为终止点。如下面的示意图所示，通常我们使用连接两个顶点的线段来表示边。

• 子图（Sub Graph）：对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$，如果满足 $V^{'} \subseteq V$，$E^{'} \subseteq E$，则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。直观的说，子图是由原图的一部分顶点和边组成的，同时边的两端顶点必须属于子图的顶点集合 $V^{'}$。特别地，根据定义，图 $G$ 本身也是其一个子图。在下图中，我们展示了一个图 $G$ 及其子图 $G^{'}$。

2. 图的分类

2.1 无向图和有向图

根据边是否具有方向性，图可以分为两种类型：「无向图」和「有向图」。

无向图（Undirected Graph）：如果图中每条边都没有方向性，则称为无向图。例如，表示朋友关系或者城市间双向行驶的路线图常用无向图建模。

在无向图中，每条边都是由两个顶点组成的无序对。例如下图左侧中的顶点 $v_1$ 和顶点 $v_2$ 之间的边记为 $(v_1, v_2)$ 或 $(v_2, v_1)$。

有向图（Directed Graph）：如果图中的每条边都具有方向性，则称为有向图。例如，表示任务流程的流程图或网络请求的依赖图是典型的有向图。

在有向图中，有向边（又称弧）是由两个顶点组成的有序对，例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧，记为 $\langle v_1, v_2 \rangle$，$v_1$ 被称为弧尾，$v_2$ 被称为弧头，如下图所示。

如果图中有 $n$ 个顶点，则根据图的类型，其边（或弧）的最大数量可以定义如下：

• 无向图中边的最大数量：在无向图中，任意两个顶点之间最多存在一条边，因此最多可以有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边。具有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边的无向图称为 「完全无向图（Completed Undirected Graph）」。

• 有向图中边的最大数量：在有向图中，任意两个顶点之间可以存在一对方向相反的弧，因此最多可以有 $n \times (n - 1)$ 条弧。具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 「完全有向图（Completed Directed Graph）」。

下图展示了两个示例：左侧为包含 $4$ 个顶点的完全无向图，右侧为包含 $4$ 个顶点的完全有向图。

下面介绍一下无向图和有向图中一个重要概念 「顶点的度」。

顶点的度：与该顶点 $v_i$ 相关联的边的数量，记为 $TD(v_i)$。

• 无向图中顶点的度：在无向图中，顶点的都是与该顶点相连的边的数量。例如，在上图左侧的完全无向图中，顶点 $v_3$ 的度为 $3$，因为有 $3$ 个其他的顶点与 $v_3$ 相连接。

• 有向图中顶点的度：在有向图中，顶点的度可以分为「出度」和「入度」两个部分。

  • 出度（Out Degree）：以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数，记为 $OD(v_i)$。
  • 入度（In Degree）：以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数，记为 $ID(v_i)$。

在有向图中，顶点 $v_i$ 的度是该点出度和入度之和，即：$TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。

例如，在上图右侧的完全有向图中，顶点 $v_3$ 的出度为 $3$，入度为 $3$，因此顶点 $v_3$ 的度为 $3 + 3 = 6$。

2.2 环形图和无环图

路径 ：图中的一个重要概念，对于图 $G = (V, E)$，如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2}, …, v_{i_m}$，并且每对相邻的顶点都有图中的边连接，即 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), …, (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$（对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, …, \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$），则称该顶点序列为从顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径，其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点，$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。

简而言之，如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边到达顶点 $v_{i_m}$，则称这两个顶点之间有一条路径，其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。

• 环（Circle）：如果一条路径的起始点和终止点相同（即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ），则称这条路径为「回路」或「环」。

• 简单路径：顶点序列中顶点不重复出现的路径称为「简单路径」。

根据图中是否有环，我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。

• 环形图（Circular Graph）：如果图中存在至少一条环路，则该图称为「环形图」。
• 无环图（Acyclic Graph）：如果图中不存在环路，则该图称为「无环图」。

在有向图中，如果不存在环路，则将该图称为「有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）」。有向无环图因其独特的拓扑结构，广泛应用于诸如动态规划、最短路径问题、数据压缩等算法场景。

下图展示了四种图的类型：无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。在有向环形图中，顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。

环形图和无环图

2.3 连通图和非连通图

2.3.1 连通无向图

在无向图中，如果存在一条从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 的路径，则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。

• 连通无向图：如果无向图中任意两个顶点之间都是连通的（即任意两个顶点之间都有路径连接），则称该图为「连通无向图」。
• 非连通无向图：如果无向图中存在至少一对顶点之间没有任何路径连接，则称该图为「非连通无向图」。

下图展示了两种情况：

• 在左侧图中，顶点 $v_1$ 与所有其他顶点 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的，因此该图为连通无向图。
• 在右侧图中，顶点 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 是连通的，但与 $v_5$、$v_6$ 没有任何路径连接，因此该图为非连通无向图。

2.3.2 无向图的连通分量

在无向图中，某些图可能不是连通的，但它们的子图可能是连通的。这样的子图称为「连通子图」。对于其中某个连通子图，如果不存在任何包含他的更大连通子图，则该连通子图称为「连通分量」。

• 连通子图：如果无向图的子图是连通的，则该子图称为连通子图。
• 连通分量：无向图中的一个极大连通子图（不存在任何包含它的更大的连通子图）称为该图的连通分量。
• 极⼤连通⼦图：无向图中的一个连通子图，且不存在包含它的更大的连通子图。

例如，上图右侧的非连通无向图中，尽管整体图是非连通的，但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的，并且不存在任何包含它的更大的连通子图，因此该子图是原图的一个连通分量。类似地，顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边也构成了原图的另一个连通分量。

2.3.3 强连通有向图

在有向图中，如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 存在路径，且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径，则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是「强连通」的。

• 强连通有向图：如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 都满足从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 均有路径，则称该图为「强连通有向图」。
• 非强连通有向图：如果图中存在至少一对顶点之间没有路径连接（即无法相互到达），则称该图为「非强连通有向图」。

下图展示了两种情况：

• 左侧图中，任意两个顶点之间都存在路径，因此该图为强连通有向图。
• 右侧图中，顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点，因此该图为非强连通有向图。

2.3.4 有向图的强连通分量

在有向图中，「强联通分量」是指其内部任意两个顶点之间都强连通的极大强连通子图。以下是具体定义：

• 强连通子图：有向图的一个子图，且该子图中任意两个顶点都是强连通的。
• 极⼤强连通⼦图：如果一个强联通子图不能被包含在任何更大的强连通子图中，则称其为极大强连通子图。
• 强连通分量：有向图中的一个极⼤强连通⼦图，称为该图的强连通分量。

举个例子来解释一下。

例如，上图右侧的非强连通有向图，其本身不是强连通的（因为顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点）。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与它们之间的边构成了一个强连通子图（即上图的左侧图），且不存在包含它的更大的强连通子图，因此这是右侧图的一个强连通分量。类似地，顶点 $v_7$ 构成了一个只有一个顶点的强连通子图，因此它自身也是右侧图的一个强连通分量。

2.4 带权图

有时，图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，还需要表示这一关系的具体细节。有时候我们需要给边赋予一些数据信息，这些数据信息被称为 权。在具体应用中，权值可以具有某种具体意义，比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。

• 带权图：如果图的每条边都被赋以⼀个权值，则该图称为带权图。权值通常表示一个非负实数，但在某些场景下也可以是负数。
• 网络：带权的连通⽆向图被称为⽹络。

在下面的示意图中，我们给出了一个带权图的例子。

2.5 稠密图和稀疏图

根据图中边的稀疏程度，我们可以将图分为「稠密图」和「稀疏图」。这是一个模糊的概念，目前为止还没有给出一个量化的定义。

• 稠密图（Dense Graph）：有很多条边或弧（边的条数 $e$ 接近于完全图的边数）的图称为稠密图。
• 稀疏图（Sparse Graph）：有很少条边或弧（边的条数 $e$ 远小于完全图的边数，如 $e < n \times \log_2n$）的图称为稀疏图。

参考资料

• 【书籍】ACM-ICPC 程序设计系列 - 图论及应用 - 陈宇 吴昊 主编
• 【书籍】数据结构教程 第 3 版 - 唐发根 著
• 【书籍】大话数据结构 - 程杰 著
• 【书籍】算法训练营 - 陈小玉 著
• 【书籍】Python 数据结构与算法分析 第 2 版 - 布拉德利·米勒 戴维·拉努姆 著
• 【博文】图的基础知识 | 小浩算法
• 【博文】链式前向星及其简单应用 | Malash's Blog